Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，M是邊BC的中點，∠DME=∠B，MD與射線BA相交于點D，ME與邊AC相交于點E．
（1）求證：；
（2）如果DE=ME，求證：ME∥AB；
（3）在第（2）小題的條件下，如果DM⊥AC，求∠ABC的度數(shù)．

Answer 1

（1）證明：∵∠DMC=∠B+∠BDM，∠DMC=∠DME+∠EMC，∠DME=∠B，
∴∠BDM=∠EMC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BDM∽△CME，
∴，
即；

（2）證明：∵△BDM∽△CME，
∴，
∵DE=ME，BM=CM，
∴，∠DME=∠EDM，
∵∠DME=∠B=∠C，
∴∠EDM=∠C，
∴△DME∽△CME，
∴∠EMC=∠EMD，
∴∠EMD=∠B，
∴EM∥AB；

（3）解：連接AM，設(shè)AC與DM交于點N，
∵AB=AC，M是BC的中點，
∴AM⊥BC，
即∠AMC=90°，
∵AB∥ME，
∴∠BDM=∠EMD，
∵∠EMD=∠EDM，
∴∠BDM=∠EDM，
∵DM⊥AC，
∴∠AND=∠END=90°，
∵在△ADN和△EDN中，
，
∴△ADN∽△EDN（ASA），
∴AD=DE，
∵DE=ME，
∴AD=ME，
∴四邊形AMED是平行四邊形，
∵AE⊥DM，
∴平行四邊形AMED是菱形，
∴∠AMD=∠DME，
∴∠AMD=∠DME=∠EMC，
∴∠B=∠EMC=×90°=30°．
分析：（1）由AB=AC，∠DME=∠B，易證得∠B=∠C，∠BDM=∠EMC，根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，即可證得△BDM∽△CME，又由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可證得結(jié)論；
（2）由DE=ME，BM=CM，易證得△DME∽△CME，則可證得∠EMD=∠B，即可得EM∥AB；
（3）易證得四邊形AMED是菱形，即可求得3∠B=90°，繼而求得答案．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．