Question

（2013•濱湖區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后立刻以原來的速度沿AB返回．點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位長度，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止．連結(jié)PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．
（1）求線段AC的長度；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)（未到達(dá)A點(diǎn)），求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）伴隨著P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，線段PQ的垂直平分線為l：
①當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，射線QP交AD于點(diǎn)E，求AE的長；
②當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理求出AC即可；
（2）過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，AP=t，AQ=3-t，證△AHP∽△ABC，求出PH=

4

5

t，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（3）①根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)求出AP=AQ，得出3-t=t，求出即可，延長QP交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)Q作QO∥AD交AC于點(diǎn)O，
證△AQO∽△ABC，求出AO=

AQ

AB

•AC=

5

2

，OQ=

AQ

AB

•BC=2，PO=1，證△APE∽△OPQ求出AE即可；②當(dāng)點(diǎn)Q從B向A運(yùn)動(dòng)時(shí)l經(jīng)過點(diǎn)B，求出CP=AP=

1

2

AC=2.5，即可求出t；（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)Q從A向B運(yùn)動(dòng)時(shí)l經(jīng)過點(diǎn)B，求出BP=BQ=6-t，AP=t，PC=5-t，過點(diǎn)P作PG⊥CB于點(diǎn)G，證△PGC∽△ABC，求出PG=

3

5

（5-t），CG=

4

5

（5-t），BG=

4

5

t，由勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=

AB2+BC2

=5；

（2）如圖1，

過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，AP=t，AQ=3-t，
則∠AHP=∠ABC=90°，
∵∠PAH=∠CAB，
∴△AHP∽△ABC，
∴

AP

AC

=

PH

BC

，
∵AP=t，AC=5，BC=4，
∴PH=

4

5

t，
∴S=

1

2

•（3-t）•

4

5

t，
即S=-

2

5

t²+

6

5

t，t的取值范圍是：0＜t＜3．

（3）①如圖2，

∵線段PQ的垂直平分線為l經(jīng)過點(diǎn)A，
∴AP=AQ，
∴3-t=t，
∴t=1.5，
∴AP=AQ=1.5，
延長QP交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)Q作QO∥AD交AC于點(diǎn)O，
∴△AQO∽△ABC，
∴

AO

AC

=

AQ

AB

=

QO

BC

，
∴AO=

AQ

AB

•AC=

5

2

，OQ=

AQ

AB

•BC=2，
∴PO=AO-AP=1，
∵OQ∥BC∥AD，
∴△APE∽△OPQ，
∴

AE

OQ

=

AP

OP

，
∴AE=

AP

OP

•OQ=3．

②如圖③，
（i）當(dāng)點(diǎn)Q從B向A運(yùn)動(dòng)時(shí)l經(jīng)過點(diǎn)B，
BQ=BP=AP=t，∠QBP=∠QAP，
∵∠QBP+∠PBC=90°，∠QAP+∠PCB=90°
∴∠PBC=∠PCB，
∴CP=BP=AP=t
∴CP=AP=

1

2

AC=

1

2

×5=2.5，
∴t=2.5；
（ⅱ）如圖4，當(dāng)點(diǎn)Q從A向B運(yùn)動(dòng)時(shí)l經(jīng)過點(diǎn)B，

BP=BQ=3-（t-3）=6-t，AP=t，PC=5-t，
過點(diǎn)P作PG⊥CB于點(diǎn)G，
則PG∥AB，
∴△PGC∽△ABC，
∴

PC

AC

=

PG

AB

=

GC

BC

，
∴PG=

PC

AC

•AB=

3

5

（5-t），CG=

PC

AC

•BC=

4

5

（5-t），
∴BG=4-

4

5

(5-t)=

4

5

t
由勾股定理得BP²=BG²+PG²，即(6-t)2=(

4

5

t)2+[

3

5

(5-t)]2，
解得t=

45

14

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，題目比較典型，但是有一定的難度．