Question

如圖，等邊△ABC，邊長為a，AD⊥BC于D點．
（1）說明2AB＞AD+BC；
（2）如果將D點沿DA向上運動到E點，當AE的長是多少時，AE=BE=EC；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，說明此時3AE＜AD+BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC=BC，再根據(jù)兩點之間垂相等最短得AB＞AD，即可得到2AB＞AD+BC；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠BAD=30°，EB=EC，BD=BC=a，而AE=BE=EC，則∠ABE=∠BAE=30°，得到∠EBD=60°-30°=30°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計算出BE，即可得到AE；
（3）根據(jù)（2）中求出的AE可計算出3AE，而AD=AB=a，即可得到3AE＜AD+BC．
解答：解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC=BC，
而AD⊥BC，
∴AB＞AD，
∴2AB＞AD+BC；

（2）如圖，∵△ABC為等邊三角形，AD⊥BC，
∴∠BAD=30°，EB=EC，BD=BC=a，
又∵AE=BE=EC，
∴∠ABE=∠BAE=30°，
∴∠EBD=60°-30°=30°，
在Rt△BDE中，DE=BD=a，
BE=2DE=a，
∴AE的長是a時，AE=BE=EC；

（3）∵3AE=a，
而AD=AB=a，
∴AD+BC=a+a，
∴3AE＜AD+BC．
點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三邊都相等，三個角都為60°，一邊上的高、中線和這邊所對的角的平分線三線合一．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．