Question

（2012•鞍山二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點(diǎn)E，連接DE并延長(zhǎng)，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接OE．求證：
（1）BD=BF；
（2）∠EOD=2∠AED．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線性質(zhì)得出OE⊥AC，推出OE∥BC，推出∠OED=∠F，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出∠ODE=∠OED，推出∠ODE=∠F即可；
（2）根據(jù)的切線的性質(zhì)∠OEA=90°，推出∠AED+∠DEO=90°①，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠DOE=180°-2∠DEO，推出

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2

∠DOE+∠DEO=90°②，由①②即可求出答案．

解答：（1）證明：∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴OE∥BC，
∴∠OED=∠F，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF；

（2）∵AC是⊙O的切線，
∴∠OEA=90°，
即∠AED+∠DEO=90°①，
∵OE=OD，
∴∠EDO=∠DEO，
∴∠DOE=180°-2∠DEO，
即

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∠DOE+∠DEO=90°②，
由①②得：∠AED-

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∠DOE=0，
則∠DOE=2∠AED．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生的推理能力，本題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．