Question

（1997•海淀區(qū)）在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²-2mx+n+1的頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線上一點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，且AC=3

10

．
（1）求此拋物線的函數(shù)解析式．
（2）若拋物線上有一點(diǎn)D，使得直線DB經(jīng)過第一、二、四象限，且原點(diǎn)O到直線DB的距離為

8

5

5

，求這時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)題意畫出圖形，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E．由拋物線上一點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，且AC=3

10

，可用mn表示出C點(diǎn)坐標(biāo)及OE，CE的長，由拋物線的頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，再由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根及勾股定理即可求出m、n的值，故可得出拋物線的解析式；
（2）直線DB經(jīng)過第一、二、四象限．設(shè)直線DB交x軸正半軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)O作OM⊥OB于點(diǎn)M，由點(diǎn)O到直線DB的距離為

8 5

5

可得出OM的長，再根據(jù)拋物線y=x²+4x+4與y軸交于點(diǎn)B，可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出BM的長，根據(jù)相似三角形的判定定理得出△OBF∽△MBO，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得出OF=2BO，故可得出F點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線BF的解析式，再根據(jù)點(diǎn)D既在拋物線上，又在直線BF上可聯(lián)立方程組，求出D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）根據(jù)題意畫示意圖（如圖1），過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E．
∵拋物線上一點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，且AC=3

10

，
∴C（1，n-2m+2），其中n-2m+2＞0，
OE=1，CE=n-2m+2．
∵拋物線的頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，
∴A（m，0），其中m＜0，OA=-m，AE=OE+OA=1-m．
∴

△=4m2-4(n+1)=0① (1-m)2+(n-2m+2)2=(3 10 )2②

，
由①，得n=m²-1．③
把③代入②，整理得（m²-2m+1）²+（m²-2m+1）-90=0
（m²-2m+11）（m²-2m-8）=0．
∴m²-2m+11=0，或m²-2m-8=0．
∵△=（-2）²-4×11=-40＜0，
∴方程m²-2m+11=0．沒有實(shí)數(shù)根．
解方程m²-2m-8=0，得m₁=4，m₂=-2．
∵m＜0，
∴m=-2．
把m=-2代入③，得n=3．
∴拋物線的函數(shù)解析式為y=x²+4x+4；

（2）解法一：∵直線DB經(jīng)過第一、二、四象限．
∴設(shè)直線DB交x軸正半軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)O作OM⊥OB于點(diǎn)M（如圖2），
∵點(diǎn)O到直線DB的距離為

8 5

5

，
∴OM=

8 5

5

∵拋物線y=x²+4x+4與y軸交于點(diǎn)B，
∴B（0，4）
∴OB=4．
∴BM=

OB2-OM2

=

42-( 8 5 5 )2

=

4 5

5

，
∵OB⊥OF，OM⊥BF．
∴△OBF∽△MBO．
∴

OB

MB

=

OF

MO

，
∴

OB

4 5 5

=

OF

8 5 5

，
∴OF=2BO=8．
∴F（8，0）．
∴直線BF的解析式為y=-

1

2

x+4，
∵點(diǎn)D既在拋物線上，又在直線BF上，
∴

y=x2+4x+4 y=- 1 2 x+4

，解得

x1=- 9 2 y1= 25 4

，

x2=0 y2=4

，
∵DB是直線，
∴D與點(diǎn)B不重合．
∴D（-

9

2

，

25

4

），
解法二：過點(diǎn)D作DN⊥y軸于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為α．
同解法一，得OB=4，BM=

4 5

5

，
∵點(diǎn)D在拋物線y=x²+4x+4上，
∴D（α，α²+4α+4），且α＜0，α²+4α+4＞0．
∴DN=-α，ON=α²+4α+4，BN=ON-OB=α²+4α．
∵∠1=∠2，∠3=∠4=90°
∴△DNB∽△OMB，
∴

DN

OM

=

NB

MB

，
∴

-α

8 5 5

=

α2+4α

4 5 5

，
整理得2α²+9α=0．解得α₁=0，α₂=-

9

2

，
∵DB是直線，
∴點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合．
∴α=-

9

2

，此時(shí)α²+4α+4=

25

4

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-

9

2

，

25

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式等知識(shí)，難度適中．