Question

已知反比例函數(shù)y=

1-2m

x

（m為常數(shù)）的圖象在一、三象限．
（1）求m的取值范圍；
（2）如圖，若該反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過?ABOD的頂點(diǎn)D，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，3），（-2，0）．
①求出函數(shù)解析式；
②設(shè)點(diǎn)P是該反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，若OD=OP，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

；若以D、O、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為

 

個(gè)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,等腰三角形的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得1-2m＞0，然后解不等式得到m的取值范圍；
（2）①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD∥OB，AD=OB=2，易得D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得1-2m=6，則反比例函數(shù)解析式為y=

6

x

；
②根據(jù)反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱可得點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P滿足OP=OD，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-3）；再根據(jù)反比例函數(shù)y=

6

x

的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，可得點(diǎn)D（2，3）關(guān)于直線y=x對(duì)稱點(diǎn)P滿足OP=OD，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），易得點(diǎn)（3，2）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P也滿足OP=OD，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-2）；由于以D、O、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，所以以D點(diǎn)為頂點(diǎn)可畫出點(diǎn)P₁，P₂；以O(shè)點(diǎn)頂點(diǎn)可畫出點(diǎn)P₃，P₄，如圖．

解答：解：（1）根據(jù)題意得1-2m＞0，
解得m＜

1

2

；

（2）①∵四邊形ABOD為平行四邊形，
∴AD∥OB，AD=OB=2，
又∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），
∴1-2m=2×3=6，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

6

x

；
②∵反比例函數(shù)y=

6

x

的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則OD=OP，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-3），
∵反比例函數(shù)y=

6

x

的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)D（2，3）關(guān)于直線y=x對(duì)稱時(shí)滿足OP=OD，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），
點(diǎn)（3，2）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也滿足OP=OD，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-2），
綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-3），（3，2），（-3，-2）；
由于以D、O、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則以D點(diǎn)為圓心，DO為半徑畫弧交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)P₁，P₂，則點(diǎn)P₁，P₂滿足條件；以O(shè)點(diǎn)為圓心，OD為半徑畫弧交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)P₃，P₄，則點(diǎn)P₃，P₄也滿足條件，如圖，作線段OD的垂直平分線，與反比例函數(shù)的圖象無交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)和其圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．