【題目】如圖,AC是⊙O的直徑,BC是⊙O的弦,點P是⊙O外一點,連接PA,PB,AB,已知∠PBA=∠C.
(1)求證:PB是⊙O的切線;
(2)連接OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半徑為,求BC的長.
【答案】(1)詳見解析;(2)BC=2.
【解析】試題分析:(1)連接OB,由圓周角定理得出∠ABC=90°,得出∠C+∠BAC=90°,再由OA=OB,得出∠BAC=∠OBA,證出∠PBA+∠OBA=90°,即可得出結(jié)論;
(2)證明△ABC∽△PBO,得出對應(yīng)邊成比例,即可求出BC的長.
試題解析:(1)證明:連接OB,如圖所示:
∵AC是⊙O的直徑,
∴∠ABC=90°,
∴∠C+∠BAC=90°,
∵OA=OB,
∴∠BAC=∠OBA,
∵∠PBA=∠C,
∴∠PBA+∠OBA=90°,
即PB⊥OB,
∴PB是⊙O的切線;
(2)解:∵⊙O的半徑為2,
∴OB=2,AC=4,
∵OP∥BC,
∴∠C=∠BOP,
又∵∠ABC=∠PBO=90°,
∴△ABC∽△PBO,
∴,
即,
∴BC=2.
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【題目】如圖為放置在水平桌面上的臺燈的平面示意圖,燈臂AO長為40cm,與水平面所形成的夾角∠OAM為75°.由光源O射出的邊緣光線OC,OB與水平面所形成的夾角∠OCA,∠OBA分別為90°和30°,求該臺燈照亮水平面的寬度BC(不考慮其他因素,結(jié)果精確到0.1cm.溫馨提示:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,≈1.73).
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【題目】若Rt△ABC的各邊都擴大4倍,得到Rt△A′B′C′,則銳角∠A、∠A′的正弦值的關(guān)系為( )
A. sinA′=sinA B. 4sinA′=sinA C. sinA′=4sinA D. 不能確定
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D.
(1)求證:△ADC≌△CEB.
(2)AD=5cm,DE=3cm,求BE的長度.
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【題目】如圖,在直角坐標系xOy中,已知A(6,0),B(8,6),將線段OA平移至CB,點D在x軸正半軸上(不與點A重合),連接OC,AB,CD,BD.
(1)寫出點C的坐標;
(2)當△ODC的面積是△ABD的面積的3倍時,求點D的坐標;
(3)設(shè)∠OCD=α,∠DBA=β,∠BDC=θ,判斷α、β、θ之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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【題目】如圖是拋物線的部分圖象,其頂點坐標為(1,n),且與x軸的一個交點在點在(3,0)和(4,0)之間.則下列結(jié)論:①;②;③;④一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根.其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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