Question

【題目】如圖，于點(diǎn),為等腰直角三角形，，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時，記.

(1)過點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，作射線交射線于點(diǎn).

①依題意補(bǔ)全圖形，求的度數(shù);

②當(dāng)時，求的長.

(2)若上存在一點(diǎn)，且，作射線交射線于點(diǎn)，直接寫出長度的最大值.

Answer 1

【答案】（1）①見解析， 45°②7；（2）見解析，

【解析】

（1）①作于點(diǎn)H,交的延長線于點(diǎn)，證明AHO≌AGB, 即可求得∠ODC的度數(shù)；

②延長交于點(diǎn)，利用條件可求得AK、OK的長度，于是可求OD的長；

（2）分析可知，點(diǎn)B在以O為圓心，OB為半徑的圓上運(yùn)動（個圓），所以當(dāng)PB是圓O的切線時，PQ的值最大，據(jù)此可解.

解：（1）①補(bǔ)全圖形如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)H,交的延長線于點(diǎn)，

∵，，，

∴∠AGB=∠AHO=∠C =，

∴∠GAH=，

∴∠OAH+∠HAB=∠GAB+∠HAB=,

∴∠OAH =∠GAB, 四邊形為矩形，

∵為等腰直角三角形，

∴OA=AB,

∴AHO≌AGB,

∴AH=AG,

∴四邊形為正方形，

∴∠OCD=45°，

∴∠ODC=45°；

②延長交于點(diǎn)，

∵，OA=5，

∴AK=4,

∴OK=3,

∵∠ODC=45°，

∴DK=AK=4

∴ ；

（2）如圖，

∵繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，

∴點(diǎn)B在以O為圓心，OB為半徑的圓上運(yùn)動（個圓），

∴當(dāng)PB是圓O的切線時，PQ的值最大，

∵

∴

∴∠OPB=45°,

∴ OQ=OP=10，

∴.

∴長度的最大值是.