Question

19．綜合與探究
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線W的函數(shù)表達(dá)式為y=-x²+3x+4．拋物線W于x后交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．它的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)及拋物線W的對(duì)稱軸；
（2）如圖2，將拋物線W沿x軸向右平移m個(gè)單位得到拋物線W′，設(shè)拋物線W′的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，與線段BC交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作x軸的平行線，交拋物線W的對(duì)稱軸于點(diǎn)P．
①求當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形EDPF的面積最大？最大面積為多少？
②以點(diǎn)E為中心，將四邊形EDPF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到四邊形EGHB．點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G（如圖3），求當(dāng)m的值為多少時(shí)，點(diǎn)G恰好落在拋物線W上．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)配方法，可得對(duì)稱軸；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得EF的長(zhǎng)，根據(jù)矩形的面積，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，可得G點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）如圖1，
把y=0代入y=-x²+3x+4，得
-x²+3x+4=0，
解得：x₁=-1，x₂=4．
∴A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-1，0），（4，0）；
把x=0代入y=-x²+3x+4，得y=4，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）．
∵y=-x²+3x+4=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴拋物線W的對(duì)稱軸為直線x=$\frac{3}{2}$；
（2）①，
∵B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（4，0），（0，4），
∴OC=OB，∠OCB=∠OBC=45°，
又∵FE∥OC，
∴∠EFB=∠OCB=∠OBC=45°，
∴EF=BE．
∵四邊形DEFP為矩形，
∴DE=PF=m．
∴EF=BE=4-$\frac{3}{2}$-m=$\frac{5}{2}$-m，
設(shè)四邊形DEFP的面積為S，
則S=DE•EF=m（$\frac{5}{2}$-m）=-m²+$\frac{5}{2}$m=-（m-$\frac{5}{4}$）²+$\frac{25}{16}$
∴當(dāng)m=$\frac{5}{4}$時(shí)，四邊形DEFP的面積最大，最大面積為$\frac{25}{16}$；
②如圖3，
∵四邊形EDPF為矩形，
∴DE=PF=m．
∴點(diǎn)E橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$+m，
又∵四邊形EGHB是由四邊形EDPF旋轉(zhuǎn)得到的，
∴EG=DE=m，
∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$+m，m）．
把x=$\frac{3}{2}$+m，y=m代入拋物線W的解析式，得
-（$\frac{3}{2}$+m）²+3（$\frac{3}{2}$+m）+4=m．
解得：m₁=$\frac{-1+\sqrt{26}}{2}$，m₂=$\frac{-1-\sqrt{26}}{2}$（不合題意，舍去），
∴當(dāng)m的值為$\frac{-1+\sqrt{26}}{2}$時(shí)，點(diǎn)G恰好在拋物線W上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系求對(duì)應(yīng)點(diǎn)；利用矩形的面積得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵；利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出G點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．