Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，點(diǎn)P是邊AC上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q在BC邊的延長線上，且AP=BQ，連接BQ交線段AB于點(diǎn)O．
（1）如圖1，小丁過點(diǎn)P作PH∥CB交線段AB于H，發(fā)現(xiàn)△OPH≌△OQB，請證明小丁發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
（2）如圖2，過點(diǎn)O作OM、ON分別垂直于AC、BC于點(diǎn)M、N，若四邊形OMCN的面積為

2

9

，求線段CP的長度．
（3）如圖3，點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為P′，連接OP′，CP′，試說明∠COP′=90°．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）易證∠OPH=∠Q，即可證明△OPH≌△OQB；
（2）易證ON=AN，OM=CN，即可求得CN、AN的值，易證OB=OH，根據(jù)平行線性質(zhì)可得CN=PN，即可解題；
（3）過C作CG⊥AB，作PH∥BC，易證OP=OQ，OH=OB，HK=AK，即可求得OK=CG，即可證明RT△OP'K≌RT△COG，可得∠P'OK=∠OCG，即可求得∠P'OK+∠COG=90°，即可解題．

解答：（1）證明：∵PH∥BC，
∴∠OPH=∠Q，
∵在△OPH和△OQB中，

∠BOQ=∠HOP ∠OPH=∠Q PH=BQ

，
∴△OPH≌△OQB（AAS）；
（2）解：∵ON⊥AC，∠A=45°，
∴ON=AN，
∵ON⊥AC，OM⊥BC，∠C=90°，
∴四邊形OMCN為矩形，
∴OM=CN，
∵CN•NO=

2

9

，CN+NO=1，
∴CN=

1

3

，AN=

2

3

，
∵△OPH≌△OQB，∴OB=OH，
∵PH∥BC，
∴

HO

BO

=

PN

CN

=1，
∴CP=

2

3

；
（3）解：過C作CG⊥AB，作PH∥BC，

∵點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為P′，
∴OP=OP'，
∵△OPH≌△OQB，
∴OP=OQ，OH=OB，
∵PH∥BC，
∴△APH為等腰直角三角形，
∵PP'⊥AH，
∴HK=AK，
∴OK=

1

2

AB，
∵CG⊥AB，∴CG=AO=BO=

1

2

AB，
∴OK=CG，
在RT△OP'K和RT△COG中，

OK=CG OC=OP

，
∴RT△OP'K≌RT△COG（HL），
∴∠P'OK=∠OCG，
∵∠OCG+∠COG=90°，
∴∠P'OK+∠COG=90°，即∠P'OC=90°．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△OPH≌△OQB和RT△OP'K≌RT△COG是解題的關(guān)鍵．