某商業(yè)公司為指導(dǎo)某種應(yīng)季商品的生產(chǎn)和銷售,對(duì)三月至七月份該商品的售價(jià)和生產(chǎn)進(jìn)行了調(diào)研,結(jié)果如下:一件商品的售價(jià)M(元)與時(shí)間t(月)的關(guān)系可用一條線段上的點(diǎn)來(lái)表示(如圖甲),一件商品的成本Q(元)與時(shí)間t(月)的關(guān)系可用一條拋物線上的點(diǎn)來(lái)表示,其中6月份成本最高(如圖乙).
根據(jù)圖象提供的信息解答下面問(wèn)題:
(1)一件商品在3月份出售時(shí)的利潤(rùn)是多少元?(利潤(rùn)=售價(jià)-成本)
(2)求出圖(乙)中表示的一件商品的成本Q(元)與時(shí)間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利潤(rùn)W(元)與時(shí)間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式嗎?若該公司能在一個(gè)月內(nèi)售出此種商品30000件,請(qǐng)你計(jì)算該公司在一個(gè)月內(nèi)最少獲利多少元?
(1)一件商品在3月份出售時(shí)利潤(rùn)為:6-1=5(元).
(2) t=3,4,5,6,7.
(3) W=(t-5)2+,其中t=3、4、5、6、7
解析:(1)從圖易知3月份每件商品售價(jià)6元,成本1元,易求利潤(rùn);
(2)根據(jù)圖象特征設(shè)解析式為頂點(diǎn)式易求解析式;
(3)根據(jù)利潤(rùn)的計(jì)算方法,顯然需求直線解析式,再求差,運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)計(jì)算利潤(rùn).解答:解:(1)每件商品在3月份出售時(shí)的利潤(rùn)為5元;(1分)
(2)∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6,4)
∴設(shè)拋物線的解析式為Q=a(t-6)2+4
∵拋物線過(guò)(3,1)點(diǎn)
∴1=a(3-6)2+4
解得:a=-∴Q=-(t-6)+4=-t2+4t-8,其中t=3、4、5、6、7;(3分)
(3)設(shè)每件商品的售價(jià)M(元)與時(shí)間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式為M=kt+b
∵線段過(guò)(3,6)、(6,8)兩點(diǎn)
∴3k+b=6 6k+b=8
解得:k=,b=4
∴M=t+4,其中t=3、4、5、6、7(4分)
所以每件商品的利潤(rùn)W(元)與時(shí)間t(月)的函數(shù)關(guān)系式為
W=M-Q=(t+4)-(-t2+4t-8)=t2-t+12(5分)
∴W=(t-5)2+,其中t=3、4、5、6、7
∴當(dāng)t=5時(shí),W的最小值為元(6分)
∴30000件商品一個(gè)月內(nèi)售完,至少獲利30000×=110000元.
答:30000件商品一個(gè)月內(nèi)售完,至少獲利110000元.(7分)
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