Question

如圖，△ABO中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A(-

3

，0)，B(-

3

，1)．
（1）①以原點(diǎn)O為位似中心，將△ABO放大，使變換后得到的△CDO與△ABO的位似比為2：1，且D在第一象限內(nèi)，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（

 

，

 

）；D點(diǎn)坐標(biāo)為（

 

，

 

）；
②將△DOC沿OD折疊，點(diǎn)C落在第一象限的E處，畫出圖形，并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）若拋物線y=ax²+bx（a≠0）過（1）中的E、C兩點(diǎn)，求拋物線的解析式；
（3）在（2）中的拋物線EC段（不包括C、E點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形MEOC面積最大？若存在，求出這個最大值，并求出此時M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①首先根據(jù)點(diǎn)D的位置確定△COD的位置，然后根據(jù)位似比作圖，即可得到點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；
②可過E作y軸的垂線，設(shè)垂足為F，由于△ODE是由△ODC翻折而得，故OE=OC=2

3

，∠EOD=∠COD=30°，根據(jù)這些條件，即可在Rt△OEF中，通過解直角三角形求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（2）在（1）題中，已經(jīng)求得了E、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可．
（3）四邊形MEOC中，△OEC的面積是定值，若四邊形的面積最大，則△EMC的面積最大；過M作MN∥y軸，交直線CE于N，設(shè)出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線和直線CE的解析式即可得到MN的長，以MN為底，C、E橫坐標(biāo)差的絕對值為高，即可得到△EMC的面積表達(dá)式，進(jìn)而可得到關(guān)于四邊形MEOC的面積和M點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到四邊形的面積最大值，及對應(yīng)的M點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）①由題意知：OC=2OA=2

3

，
CD=2AB=2；
故C（2

3

，0），D（2

3

，2）；
②如圖，過E作EF⊥y軸于F；
Rt△OCD中，OC=2

3

，CD=2，則有：
∠DOC=30°；
根據(jù)折疊的性質(zhì)知：
OE=OC=2

3

，∠EOD=∠DOC=30°；
在Rt△OEF中，OE=2

3

，∠FOE=30°，
則：FE=

3

，OF=3，
故E（

3

，3）．

（2）由于拋物線經(jīng)過E（

3

，3），C（2

3

，0），依題意有：

3a+ 3 b=3 12a+2 3 b=0

，
解得

a=-1 b=2 3

，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2

3

x；

（3）過M作MN∥y軸，交CE于N；
∵E（

3

，3），C（2

3

，0），
∴直線EC：y=-

3

x+6；
設(shè)M（x，-x²+2

3

x），則N（x，-

3

x+6），
∴MN=-x²+2

3

x-（-

3

x+6）=-x²+3

3

x-6；
∴四邊形EMCO的面積S=S_△EMC+S_△EOC
=

1

2

×（-x²+3

3

x-6）×

3

+

1

2

×2

3

×3
=-

3

2

x²+

9

2

x=-

3

2

（x-

3 3

2

）²+

27 3

8

；
∴當(dāng)x=

3 3

2

，即M（

3 3

2

，

9

4

）時，四邊形OEMC的面積最大，且最大值為

27 3

8

．

點(diǎn)評：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到圖形的位似變化、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)及圖形面積的求法、二次函數(shù)最值的應(yīng)用等重要知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．