Question

如圖，AB為⊙O的直徑，CD為弦，且CD⊥AB，垂足為H．
（1）如果⊙O的半徑為4，CD=4

3

，求∠BAC的度數(shù)；
（2）在（1）的條件下，圓周上到直線AC距離為3的點(diǎn)有多少個(gè)？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由直徑AB垂直于CD，利用垂徑定理得到H為CD的中點(diǎn)，求出CH的長(zhǎng)，在直角三角形COH中，利用銳角三角函數(shù)定義求出sin∠COH的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠COH的度數(shù)，再由OA=OC，利用等腰三角形的性質(zhì)及外角性質(zhì)即可求出∠BAC的度數(shù)；
（2）圓周上到直線AC的距離為3的點(diǎn)有2個(gè)，理由為：分別求出劣弧AC與弧ADC上到直線AC距離的最大值為2，6，由2＜3＜6，利用圓的對(duì)稱性即可得到結(jié)果．

解答：解：（1）∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB，CD=4

3

，
∴CH=

1

2

CD=2

3

，
在Rt△COH中，sin∠COH=

CH

OC

=

3

2

，
∴∠COH=60°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠COH為△AOC的外角，
∴∠BAC=

1

2

∠COH=30°；　   
（2）圓周上到直線AC的距離為3的點(diǎn)有2個(gè)，理由為：
∵劣弧

AC

上的點(diǎn)到直線AC的最大距離為2，

ADC

上的點(diǎn)到直線AC的最大距離為6，且2＜3＜6，
∴由圓的軸對(duì)稱性得，

ADC

到直線AC距離為3的點(diǎn)有2個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理，特殊角的三角函數(shù)值，等腰三角形的性質(zhì)，以及外角性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．