Question

如圖，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，如圖，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D與AB的中點(diǎn)重合，DE，DF分別交AC于點(diǎn)M，N，使DM=MN，則重疊部分（△DMN）的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：作輔助線，利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，列方程求解

解答：解：如圖所示：
過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AC于點(diǎn)K，則DK∥BC，
又∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，
∴DK=

1

2

BC=3．
∵DM=MN，∴∠MND=∠MDN，由∠MDN=∠B，
∴∠MND=∠B，又∵∠DKN=∠C=90°，
∴△DKN∽△ACB，
∴

KN

BC

=

DK

AC

，即

KN

6

=

3

8

，得KN=

9

4

．
設(shè)DM=MN=x，則MK=x-

9

4

．
在Rt△DMK中，由勾股定理得：MK²+DK²=MD²，
即：（x-

9

4

）²+3²=x²，解得x=

25

8

，
∴S_△DMN=

1

2

MN•DK=

1

2

×

25

8

×3=

75

16

．
故答案為：

75

16

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，得出（x-

9

4

）²+3²=x²是解題關(guān)鍵．