Question

如圖所示，邊長(zhǎng)為1的正方形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，將正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，使點(diǎn)A落在拋物線(xiàn)y=ax²（a＜0）的圖象上．
（1）求拋物線(xiàn)y=ax²的函數(shù)關(guān)系式；
（2）正方形OABC繼續(xù)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)多少度時(shí)，點(diǎn)A再次落在拋物線(xiàn)y=ax²的圖象上并求這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．
（參考數(shù)據(jù)：sin30°=，cos30°=，tan30°=．）

Answer 1

【答案】分析：（1）由于OA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后A點(diǎn)落在拋物線(xiàn)上，設(shè)此時(shí)的A點(diǎn)為A₁，過(guò)A₁作A₁⊥x軸于M，那么可根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)和∠A₁OA的度數(shù)求出A₁M和OM的長(zhǎng)，即可得出A₁的坐標(biāo)，然后根據(jù)A₁的坐標(biāo)即可求出拋物線(xiàn)的解析式．
（2）根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性即可得出要經(jīng)過(guò)120°點(diǎn)A才會(huì)再落到拋物線(xiàn)的圖象上．且此點(diǎn)與A1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即坐標(biāo)為（-，-）．
解答：解：（1）設(shè)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A落在拋物線(xiàn)上點(diǎn)A₁處，OA₁=OA=1，
過(guò)A₁作A₁M⊥x軸于M，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：∠A₁OM=30°，
則OM=OA₁cos30°=，A₁M=OA₁sin30°=，
所以A₁（，-）．
由A₁在y=ax²上，代入拋物線(xiàn)解析式得：-=a（）²
解得a=-，
∴y=-x²

（2）由拋物線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，再次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A落在拋物線(xiàn)點(diǎn)A₂處，點(diǎn)A₂與點(diǎn)A₁關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
因此再次旋轉(zhuǎn)120°，點(diǎn)A₂的坐標(biāo)為（-，-）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換、二次函數(shù)的確定、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．