Question

在俄羅斯民間流著這樣一道數(shù)學趣題：甲、乙兩人合養(yǎng)了若干頭羊，而每頭羊的賣價又恰與羊的頭數(shù)相等，全部賣完后，兩人按下面的方法分錢：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最后，剩下不足十元，輪到乙拿去．為了平均分配，甲應(yīng)該找補給乙多少元？（ ）
A．1元
B．2元
C．3元
D．4元

Answer 1

【答案】分析：先設(shè)甲、乙兩人合養(yǎng)了n頭羊，兩人先分了x次，每人每次10元，最后一次甲先拿了10元，乙拿了2y（0＜2y＜10，2y是整數(shù)）元，當甲找給乙錢后，甲乙都得到了（5+y）元，甲給了乙10-（5+y）=5-y元，再根據(jù)2y是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進行討論即可．
解答：解：設(shè)甲、乙兩人合養(yǎng)了n頭羊，兩人先分了x次，每人每次10元，最后一次甲先拿了10元，乙拿了2y（0＜2y＜10，2y是整數(shù)）元，當甲找給乙錢后，甲乙都得到了（5+y）元，甲給了乙10-（5+y）=5-y元，
∴有n²=20x+10+2y，
∵（20x+10）個位為0，2y是完全平方數(shù)的個位數(shù)，2y=1，4，5，6，9，
若2y是奇數(shù)，則2y=1，5，或9，
∴20x+10+2y=20x+11，20x+15或20x+19，
∵20x+11、20x+15、20x+19除以4的余數(shù)都是3，它們不是完全平方數(shù)，
∴2y是偶數(shù)，2y=4或6，y=2或3．
若y=2，n²=20x+14=2（10x+7），右邊不是完全平方數(shù)
∴y=3，
∴甲應(yīng)該找給乙5-3=2（元）錢．
故選B．
點評：本題考查的是一元二次方程的整數(shù)根與有理根，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出相應(yīng)的未知數(shù)，得出關(guān)于n、x、y的方程，再分類討論．