【題目】在平面直角坐標系xOy中,定義點P(x,y)的變換點為P′(x+y,x﹣y).

(1)如圖1,如果O的半徑為,

①請你判斷M(2,0),N(﹣2,﹣1)兩個點的變換點與O的位置關系;

②若點P在直線y=x+2上,點P的變換點P′在O的內(nèi),求點P橫坐標的取值范圍.

(2)如圖2,如果O的半徑為1,且P的變換點P′在直線y=﹣2x+6上,求點P與O上任意一點距離的最小值.

【答案】(1)①點N(﹣2,﹣1)的變換點在O外;②點P橫坐標的取值范圍為﹣2<x<0;(2)點P與O上任意一點距離的最小值為﹣1.

【解析】

試題分析:(1)①根據(jù)新定義得到點M的變換點M′的坐標為(2,2),于是根據(jù)勾股定理計算出OM′=2,則根據(jù)點與圓的位置關系的判定方法可判斷點M的變換點在O上;同樣方法可判斷點N(﹣2,﹣1)的變換點在O

②利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征,設P點坐標為(x,x+2),利用新定義得到P點的變換點為P′的坐標為(2x+2,﹣2),則根據(jù)勾股定理計算出OP′=,然后利用點與圓的位置關系得到<2,解不等式得﹣2<x<0;

(2)設點P′的坐標為(x,﹣2x+6),P(m,n),根據(jù)新定義得到m+n=x,m﹣n=﹣2x+6,消去x得3m+n=6,則n=﹣3m+6,于是得到P點坐標為(m,﹣3m+6),則可判斷點P在直線y=﹣3x+6上,設直線y=﹣3x+6與x軸相交于點A,與y軸相交于點B,過O點作OHAB于H,交O于C,如圖2,易得A(2,0),B(0,6),利用勾股定理計算出AB=2,再利用面積法計算出OH=,所以CH=﹣1,當點P在H點時,PC為點P與O上任意一點距離的最小值.

解:(1)①M(2,0)的變換點M′的坐標為(2,2),則OM′==2,所以點M(2,0)的變換點在O上;

N(﹣2,﹣1)的變換點N′的坐標為(﹣3,﹣1),則ON′==>2,所以點N(﹣2,﹣1)的變換點在O外;

②設P點坐標為(x,x+2),則P點的變換點為P′的坐標為(2x+2,﹣2),則OP′=,

點P′在O的內(nèi),

<2,

(2x+2)2<4,即(x+1)2<1,

﹣1<x+1<1,解得﹣2<x<0,

即點P橫坐標的取值范圍為﹣2<x<0;

(2)設點P′的坐標為(x,﹣2x+6),P(m,n),

根據(jù)題意得m+n=x,m﹣n=﹣2x+6,

3m+n=6,

即n=﹣3m+6,

P點坐標為(m,﹣3m+6),

點P在直線y=﹣3x+6上,

設直線y=﹣3x+6與x軸相交于點A,與y軸相交于點B,過O點作OHAB于H,交O于C,如圖2,

則A(2,0),B(0,6),

AB==2,

OHAB=OAOB,

OH==,

CH=﹣1,

即點P與O上任意一點距離的最小值為﹣1.

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