Question

在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E為AB上一點(diǎn)，AE=AD，且BF∥CD，AF⊥CE于F．連接DE交對(duì)角線AC于H．下列結(jié)論：①△ACD≌△ACE；②AC垂直平分ED；③CE=2BF；④CE平分∠ACB．其中結(jié)論正確的是

1. A.
   ①②
2. B.
   ①②④
3. C.
   ①②③
4. D.
   ①②③④

Answer 1

D
分析：有條件可直接證得△ACD≌△ACE；有三角形全等的性質(zhì)可得CD=CE，又因?yàn)锳D=AE所以AC是DE的垂直平分線即AC垂直平分ED；取CF的中點(diǎn)O連接BO，可得CE=2BO，再證明BF=BO即可，即問題轉(zhuǎn)化為證明△EBC≌△EHC．再利用三角形的外角性質(zhì)問題③④可得證．
解答：解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°．
∵AB=CB，
∴∠BAC=45°，
∴∠DAC=45°．
又∵AC=AC，
∴△AEC≌△ADC．
∴①△ACD≌△ACE正確．
∵△AEC≌△ADC，
∴DC=CE．
又∵AD=AE，
∴AC是DE的垂直平分線．
即AC垂直平分ED．
∴②AC垂直平分ED正確．
易證F、A、B、C共圓，
因?yàn)锽C為弦，∠CFB=CAB=45°，F(xiàn)B∥CD，
所以∠FCD=45°，∠ACE=∠ACD=22.5°，
又因?yàn)椤螦CB=45°，
所以∠FCB等于22.5，
故④正確；
延長DA，交BF延長線于M，
易證MBCD是平行四邊形，對(duì)
角相等，所以∠M=67.5°，
易證∠FAB=∠FCB（以FB為弦，亦可以用8字結(jié)構(gòu)，相似），
所以∠FAE=22.5°，
所以∠MAF=67.5°，
所以∠M=∠MAF，
故AF=MF，
易證∠EBF=22.5°，
所以∠FAB=∠FBA，
所以AF=FB，
所以MF=BF，
又因?yàn)镸B=CD=CE（對(duì)邊以及全等），
所以2FB=CE④∵∠ABC=90°，OE=OC，
∴BO=CO=CE
∴∠OCB=∠OBC．
∵∠FOB=∠OCB+∠OBC，
∴∠FOB=2∠OCB．
∵BF∥CD，
∴∠BFO=∠DCF．
∵∠BFO=∠DCF=∠FOB，
∴∠BFO=∠FOB．
∴BF=OB．
∴BF=CE，
即CE=2BF，故③正確．
故答案選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判斷和性質(zhì)；垂直平分線的判定；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；等腰直角三角形兩底角都是45°，題目難度不小，有一定的綜合性．