Question

如圖，在矩形OABC中，點A（0,10），C(8，0).沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點B落在OA邊上的點E處．分別以OC， OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過O，D，C三點．

（1）求D的的坐標及拋物線的解析式；

（2）一動點P從點E出發(fā)，沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿CO以每秒1個單位長的速度向點O運動，當點P運動到點C時，兩點同時停止運動．設運動時間為t秒，當t為何值時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似？

（3）點N在拋物線對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使以M，N，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M與點N的坐標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，

∴∠DEA=∠OCE，

由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．

而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．

當∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，

∴=，即=，

解得t=．

當∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，

∴=，即=，

解得t=．

∴當t=或時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似．………（4分）

（3）假設存在符合條件的M、N點，分兩種情況討論………………… （共4分酌情給分）

①EC為平行四邊形的對角線，由于拋物線的對稱軸經(jīng)過EC中點，若四邊形MENC是平行四邊形，那么M點必為拋物線頂點；

則：M（4，）；而平行四邊形的對角線互相平分，那么線段MN必被EC中點（4，3）平分，則N（4，﹣）；

②EC為平行四邊形的邊，則ECMN，設N（4，m），則M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；

將M（﹣4，m+6）代入拋物線的解析式中，得：m=﹣38，此時 N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；

將M（12，m﹣6）代入拋物線的解析式中，得：m=﹣26，此時 N（4，﹣26）、M（12，﹣32）；

綜上，存在符合條件的M、N點，且它們的坐標為：

①M₁（﹣4，﹣32），N₁（4，﹣38）

②M₂（12，﹣32），N₂（4，﹣26）

③M₃（4，），N₃（4，﹣）．