Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+1與x軸相交于點A，B，與y軸相交于點C，點A的坐標為（﹣1，0），對稱軸為直線x＝1．

（1）求點B的坐標及拋物線的解析式；

（2）在直線BC上方的拋物線上有一點P，使△PBC的面積為1，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）點B的坐標為：B（3，0），拋物線解析式為y＝﹣x2+x+1；（2）P點坐標為（1，）或（2，1）．

【解析】

（1）利用拋物線的對稱性確定B（3，0），然后利用交點式求拋物線解析式；
（2）作PQ∥y軸于Q，如圖，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=x+1，設P（t，t2+ t +1）（0＜t＜3），則Q（t，t+1），則PQ=t2+t，利用三角形面積公式得到×3×（t2+t）=1，然后解方程求出t即可得到P點坐標．

解：（1）∵點A的坐標為（﹣1，0），對稱軸為直線x＝1，

∴B（3，0），

設拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），

即y＝ax2﹣2ax﹣3a，

∵﹣3a＝1，

∴a＝，

∴拋物線解析式為y＝x2+x+1；

（2）作PQ∥y軸于Q，如圖，

當x＝0時，y＝x2+x+1＝1，則C（0，1）

設直線BC的解析式為y＝mx+n，

把C（0，1），B（3，0）代入得，解得 ，

∴直線BC的解析式為y＝x+1，

設P（t，t2+t+1）（0＜t＜3），則Q（t，t+1）

∴PQ＝t2+t+1﹣（t+1）＝t2+t，

∵△PBC的面積為1，

∴×3×（t2+t）＝1，

整理得t2﹣3t+2＝0，解得t1＝1，t2＝2，

∴P點坐標為（1，）或（2，1）．

故答案為：（1）點B的坐標為：B（3，0），拋物線解析式為y＝﹣x2+x+1；（2）P點坐標為（1，）或（2，1）．