Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8厘米，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊由A向B以1厘米/秒的速度勻速移動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BC-CD以2厘米/秒的速度勻速移動(dòng)，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止．連接AQ，交BD于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．
（1）當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P出發(fā)多少時(shí)間后，∠BEP和∠BEQ相等；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：△BQE的面積是△APE的面積的2倍；
（3）設(shè)△APE的面積為y，試求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)∠BEP和∠BEQ相等時(shí)，三角形BPE和BQE全等，那么BP=BQ，可以根據(jù)P，Q的速度，用時(shí)間表示出BP，BQ的長(zhǎng)，進(jìn)而求出t的值．
（2）因?yàn)镼的速度是P的2倍，因此BQ=2AP．過(guò)點(diǎn)E作MN⊥BC，垂足為M，交AD于點(diǎn)N，作EH⊥AB，垂足為H．由于∠ABD=∠DBC=45°，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等即可得出EH=EM，因此根據(jù)三角形的面積公式即可得出三角形BQE的面積是三角形APE面積的2倍．
（3）要分三種情況進(jìn)行討論
①當(dāng)Q在BC上時(shí)，求三角形APE的面積關(guān)鍵是求AP邊上的高，也就是EH的長(zhǎng)，由于EH=EM，可通過(guò)求EM得出EH的值，根據(jù)相似三角形BEQ和AED可得出關(guān)于EM，EN，AD，BQ的比例關(guān)系，可用EM表示出EN，進(jìn)而根據(jù)比例關(guān)系式得出EM即EH的長(zhǎng)，也就能得出關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式了．
②當(dāng)Q與C重合時(shí)，可直接求出三角形BEQ的面積，根據(jù)（2）的結(jié)果求出三角形APE的面積．
③當(dāng)Q在CD上時(shí)，關(guān)鍵還是求AP邊上的高，過(guò)點(diǎn)E作MH⊥AB，垂足為H，可知MH⊥CD，設(shè)垂足為M，那么可參照②求EM的方法求出EH，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得出y，x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：
（1）∵四邊形ABCD是正方形．
∴∠ABD=∠DBC．
當(dāng)∠BEP=∠BEQ時(shí)，∠PBE=∠QBE，BE=BE．
∴△PBE≌△QBE．
∴PB=QB．
即8-x=2x．
解得x=

8

3

．
即點(diǎn)P出發(fā)

8

3

秒后，∠BEP=∠BEQ．

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)E作MN⊥BC，垂足為M，交AD于點(diǎn)N，作EH⊥AB，垂足為H．∵∠ABD=∠DBC，EH⊥AB，EM⊥BC．
∴EH=EM．
∵BQ=2x，AP=1x．
∴BQ=2AP
∵S_△APE=

1

2

AP•EH，S_△BQE=

1

2

BQ•EM=

1

2

•2AP•EH=AP•EH=2S_△APE．
所以S_△BQE=2S_△APE．

（3）①當(dāng)0＜x＜4時(shí)，點(diǎn)Q在BC邊上運(yùn)動(dòng)．
∵四邊形ABCD是正方形．
∴AD∥BC．
∴MN⊥AD，△BEQ∽△DEA．
∴

BQ

AD

=

EM

EN

．
∴

2x

8

=

EM

8-EM

．
解得EM=

8x

4+x

．
即EH=

8x

4+x

．
∴S_△APE=

1

2

AP•EH=

1

2

•x•

8x

4+x

=

4x2

4+x

．
即y=

4x2

4+x

．
②當(dāng)x=4時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合．此時(shí)y=8．
③當(dāng)4＜x＜8時(shí)，點(diǎn)Q在CD邊上運(yùn)動(dòng)．如圖2，過(guò)點(diǎn)E作MH⊥AB，垂足為H，可知MH⊥CD．
設(shè)垂足為M．
∵AB∥DC．
∴∠ABE=∠EDQ，∠BAE=∠DQE，
∴△AEB∽△DEQ．
∴

AB

DQ

=

EH

EM

．
∴

8

16-2x

=

EH

8-EH

．
解得EH=

32

12-x

．
∴S_△APE=

1

2

AP•EH=

1

2

•x•

32

12-x

=

16x

12-x

．
即y=

16x

12-x

．
綜上所述，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=

4x2

4+x

（0＜x＜4）；y=8（x=4）；y=

16x

12-x

（4＜x＜8）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等綜合知識(shí)，根據(jù)相似三角形得出線段的比例關(guān)系從而表示出三角形APE的高是解題的關(guān)鍵．