Question

【題目】如圖，正方形中，，點在邊上，且；將沿對折至，延長交邊于點，連結、，下列結論中，正確的個數為（ ）

①；②；③；④

A.個B.個C.個D.個

Answer 1

【答案】D

【解析】

首先證明Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），推出GB=GF，設BG=x，則GF=x，CG=BC-BG=3-x，在Rt△CGE中，GE=x+1，EC=2，CG=3-x，根據CG2+CE2=GE2，構建方程求出x即可判斷①正確；

想辦法證明∠AGB=∠GCF，即可判斷②正確；

根據全等得出∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG．得出③正確；

只要證明，得出可得S△FCG=S△EGC，由此即可判斷④正確；

①∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD=CD=3，∠B=∠D=90°，

∵CD=3，CE=2DE，

∴DE=1，

∵△ADE沿AE折疊得到△AFE，

∴DE=EF=1，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，

∴AF=AB，

∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，

AG=AG，AB=AF

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）．

∴BG=FG，∠AGB=∠AGF．

設BG=x，則CG=BC-BG=3-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+1．

在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2．

∵CG=3-x，CE=2，EG=x+1，

∴(3-x)2+22=(x+1)2，

解得：x=

∴BG=GF=CG=

即BG=CG，①正確；

②∵△ADE沿AE折疊得到△AFE，

∴△DAE≌△FAE．

∴∠DAE=∠FAE．

∵△ABG≌△AFG，

∴∠BAG=∠FAG．

∵∠BAD=90°，

∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=×90°=45°

∴②正確．

∵CG=GF，

∴∠CFG=∠FCG．

∵∠BGF=∠CFG+∠FCG，∠BGF=∠AGB+∠AGF，

∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF．

∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG，

∴∠AGB=∠FCG．

∴AG∥CF．

∴③正確；

④∵EF=DE=1，GF=

∴EG=

∴

∴S△FGC=S△EGC=

∴正確．

故選：D