【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=4,BC=8,∠B=60,過平行四邊形的對稱中心點O的一條直線與邊AD、BC分別交于點E、F,設(shè)直線EF與BC的夾角為α。
(1)當α的度數(shù)是_________時,四邊形AFCE為菱形;
(2)當α的度數(shù)是_________時,四邊形AFCE為矩形;
(3)四邊形AFCE能否為正方形?為什么?
【答案】(1)60;(2)30;(3)不能
【解析】
(1)當α的度數(shù)是60°時,四邊形AFCE為菱形,首先證明四邊形AFCE、四邊形AFEB是平行四邊形,再證明△ABE是等邊三角形即可解決問題.
(2)當α的度數(shù)是30°時,四邊形AFCE為矩形,取BC中點M,連接AM,首先證明△ABM是等邊三角形,推出∠OCE=30°即可解決問題.
(3)不可能,只要證明AE≠AF即可解決問題.
(1)當α的度數(shù)是60°時,四邊形AFCE為菱形,理由如下:
∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,∴∠FAO=∠ECO.
在△AOF和△COE中,∵,∴△AOF≌△COE(ASA),∴OE=OF.
∵OA=OC,∴四邊形AFCE是平行四邊形,∴AF=CE,AF∥BC,∴AF∥BE.
∵∠α=∠ABC=60°,∴AB∥EF,∴四邊形AFEB是平行四邊形,∴AF=BE=CE.
∵BC=8,AB=4,∴AB=BE=4.
∵∠B=60°,∴△ABE是等邊三角形,∴AE=BE=CE.
∵四邊形AFCE是平行四邊形,∴四邊形AFCE是菱形.
故答案為:60°;
(2)當α的度數(shù)是30°時,四邊形AFCE為矩形,理由如下:
同(1)得:四邊形AFCE是平行四邊形,取BC中點M,連接AM.
∵AB=BM=4,∠B=60°,∴△ABM是等邊三角形,∴∠AMB=60°,AM=BM=AB=CM,∴∠ACM=∠MAC=30°.
∵∠α=30°,∴∠OEC=∠OCE,∴OE=OC.
∵OE=OF,OA=OC,∴AC=EF,∴四邊形AECF是矩形.
故答案為:30°.
(3)四邊形AECF不可能是正方形.
理由如下:如圖四邊形AFCE是矩形.
∵AB=4,BC=8,∠B=60°,∴在Rt△ABF中,AF=ABsin∠B=2,BF=ABcos60°=2,∴CF=BC﹣BF=8﹣2=6.
∵AF≠FC,∴四邊形AFCE不是正方形.
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【題目】已知為坐標原點,拋物線與軸相交于點.與軸交于點,點,在直線上.
(1)當隨著的增大而增大時,求自變量的取值范圍;
(2)將拋物線向左平移個單位,記平移后隨著的增大而增大的部分為,直線向下平移個單位,當平移后的直線與有公共點時,求的最小值.
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【題目】在一次數(shù)學(xué)綜合實踐活動中,小明計劃測量城門大樓的高度,在點B處測得樓頂A的仰角為22°,他正對著城樓前進21米到達C處,再登上3米高的樓臺D處,并測得此時樓頂A的仰角為45°.
(1)求城門大樓的高度;
(2)每逢重大節(jié)日,城門大樓管理處都要在A,B之間拉上繩子,并在繩子上掛一些彩旗,請你求出A,B之間所掛彩旗的長度(結(jié)果保留整數(shù)).(參考數(shù)據(jù):sin22°≈,cos22°≈,tan22°≈)
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【題目】某服裝店以每件40元的價格購進一批襯衫,在試銷過程中發(fā)現(xiàn):每月銷售量y(件)與銷售單價x(x為正整數(shù))(元)之間符合一次函數(shù)關(guān)系,當銷售單價為55元時,月銷售量為140件;當銷售單價
為70元時,月銷售量為80件.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果每銷售一件襯衫需支出各種費用1元,設(shè)服裝店每月銷售該種襯衫獲利為w元,求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出銷售單價定為多少元時,商場獲利最大,最大利潤是多少元?
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,動點D從點A出發(fā),沿線段AC以每秒1個單位的速度向終點C運動,動點E同時從點B出發(fā),以每秒2個單位的速度沿射線BC方向運動,當點D停止時,點E也隨之停止,連結(jié)DE,當C. D. E三點不在同一直線上時,以ED、EC我鄰邊作ECFD,設(shè)點D運動的時間為t(秒).
(1)用含t的代數(shù)式表示CE的長度。
(2)當F點落在△ABC的內(nèi)部時,求t的取值范圍。
(3)設(shè)ECFD的面積為S(平方單位),求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式。
(4)當點F到Rt△ABC的一條直角邊的距離是到另一條直角邊距離的2倍時,直接寫出ECFD的面積.
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【題目】整數(shù)a滿足下列兩個條件,使不等式﹣2≤<a+1恰好只有3個整數(shù)解,使得分式方程=1的解為整數(shù),則所有滿足條件的a的和為( )
A. 2B. 3C. 5D. 6
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【題目】某班數(shù)學(xué)興趣小組對函數(shù)y=|x2﹣2x|的圖象和性質(zhì)進行了探究,探究過程如下,請補充完整:
(1)自變量x的取值范圍取足全體實數(shù),x與y的幾組對應(yīng)值列表如下:其中m= .
x | …… | ﹣1 | ﹣0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | …… |
y | …… | 3 | m | 0 | 0.75 | 1 | 0.75 | 0 | 1.25 | 3 | …… |
(2)根括上表數(shù)據(jù),在如圖所示的平面直角坐標系中描點,現(xiàn)在畫出了函數(shù)圖象的一部分,請畫出該函數(shù)圖象的另一部分.
(3)觀察函數(shù)圖象,寫出函數(shù)的一條性質(zhì) ;
(4)進一步探究函數(shù)圖象解決問題:
①方程|x2﹣2x|=有 個實數(shù)根;
②在(2)問的平面直角坐標系中畫出直線y=﹣x+1,根據(jù)圖象寫出方程|x2﹣2x|=﹣x+1的一個正數(shù)根約為 .(精確到0.1)
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【題目】如圖,△ABC的頂點坐標分別為A(0,1)、B(3,3)、C(1,3).
(1) 畫出△ABC關(guān)于點O的中心對稱圖形△A1B1C1
(2) 畫出△ABC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°的△A2B2C2,直接寫出點C2的坐標為______.
(3) 若△ABC內(nèi)一點P(m,n)繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°的對應(yīng)點為Q,則Q的坐標為______.
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【題目】一跨河橋,橋拱是圓弧形,跨度(AB)為16米,拱高(CD)為4米,求:
(1)橋拱半徑.
(2)若大雨過后,橋下河面寬度(EF)為12米,求水面漲高了多少?
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