Question

（2010•廈門）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（m，-1）（m＞0）．連接OP，將線段OP繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段OM，且點(diǎn)M是拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)．
（1）若m=1，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（2，2），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，求y的取值范圍；
（2）已知點(diǎn)A（1，0），若拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點(diǎn)B，直線AB與拋物線y=ax²+bx+c有且只有一個(gè)交點(diǎn)，請判斷△BOM的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別過P、M作x、y軸的垂線，設(shè)垂足為Q、N；通過證△MON≌△OPQ，可求出MN、ON的長，即可得到M點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)M點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出拋物線的解析式；結(jié)合自變量的取值范圍及拋物線的對稱軸方程即可求得y的取值范圍；
（2）在（1）中已經(jīng)求得M（1，m），可用a、m表示出拋物線的解析式（頂點(diǎn)式），進(jìn)而可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)；用待定系數(shù)法即可得到直線AB的解析式，聯(lián)立直線AB與拋物線的解析式，由于兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，那么所得方程的△=0，由此可求出m、a的關(guān)系式，即可用m表示出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別求出△BOM的邊長，然后判斷△BOM的形狀．
解答：解：（1）∵線段OP繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段OM
∴∠POM=90°，OP=OM
過點(diǎn)P（m，-1）作PQ⊥x軸于Q，過點(diǎn)M作MN⊥y軸于N，
∵∠POQ+∠MOQ=90°
∠MON+∠MOQ=90°
∴∠MON=∠POQ
∴∠ONM=∠OQP=90°
∴△MON≌△OPQ
∴MN=PQ=1，ON=OQ=m
∴M（1，m）
∵m=1
∴M（1，1）
∵點(diǎn)M是拋物線y=a（x-1）²+1
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2，2）
∴a=1
∴y=（x-1）²+1
∴此拋物線開口向上，對稱軸為x=1
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
當(dāng)x=1時(shí)，y=1
∴y的取值范圍為1≤y≤2．

（2）∵點(diǎn)M（1，m）是拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)
∴可設(shè)拋物線為y=a（x-1）²+m
∵y=a（x-1）²+m=ax²-2ax+a+m
∴B（0，a+m）
又∵A（1，0）
∴直線AB的解析式為y=-（a+m）x+（a+m）
解方程組
得ax²+（m-a）x=0
∵直線AB與拋物線y=ax²+bx+c有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴△=（m-a）²=0
∴m=a
∴B（0，2m）．
在Rt△ONM中，由勾股定理得
OM²=MN²+ON²=1+m²
∴BM=OM
∴△BOM是等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法以及等腰三角形的判定等知識(shí)．