Question

（2011•路北區(qū)一模）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CE為一條直角邊作等腰直角三角形CEF，連接BF、BD、FD．
（1）BD與CF的位置關(guān)系是

平行

．
（2）①如圖，當(dāng)CE=4（即點(diǎn)E與點(diǎn)D重合）時(shí)，△BDF的面積為

8

．
②如圖，當(dāng)CE=2（即點(diǎn)E為CD中點(diǎn)）時(shí)，△BDF的面積為

8

．
③如圖，當(dāng)CE=3時(shí)，△BDF的面積為

8

．
（3）如圖，根據(jù)上述計(jì)算的結(jié)果，當(dāng)E是CD上任意一點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)?zhí)岢瞿銓?duì)△BDF面積與正方形ABCD的面積之間關(guān)系的猜想，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）證A、D、F共線，根據(jù)平行四邊形的判定推出平行四邊形BCFD即可；
（2）①根據(jù)三角形的面積公式求出即可；②③根據(jù)S_△BDF=S_{四邊形BCDF}-S_△BCF=S_△BCD+S_△CDF-S_△BCF代入求出即可；
（3）由（2）求出了△BDF的面積，求出正方形的面積，即可得出答案．

解答：解：（1）正方形ABCD，等腰直角三角形CEF，
∴∠ADC=∠FDC=90°，
∴∠ADC+∠FDC=180°，
即A、D、F三點(diǎn)共線，
∵DF∥CB，DF=CD=BC，
∴四邊形BCFD是平行四邊形，
∴FC∥BD，
故答案為：平行．

（2）①△BDF的面積是

1

2

DF×AB=

1

2

×4×4=8，
故答案為：8．

②△BDF的面積是：S_{四邊形BCFD}-S_△BCF
=S_△BDC+S_△CDF-S_△BCF
=

1

2

BC×DC+

1

2

CD×EF-

1

2

BC×CE
=

1

2

×4×+

1

2

×4×2-

1

2

×4×2
=8，
故答案為：8．

③與②求法類似：△BDF的面積是S_△BDC+S_△CDF-S_△BCF
=

1

2

BC×CD+

1

2

CD×EF-

1

2

CB×EF
=

1

2

×4×4+

1

2

×4×3-

1

2

×4×3
=8，
故答案為：8．

（3）△BDF面積與正方形ABCD的面積之間關(guān)系是S_△BDF=

1

2

S_{正方形ABCD}．
證明：∵S_△BDF=8，
S_{正方形ABCD}=BC×CD=4×4=16，
∴S_△BDF=

1

2

S_{正方形ABCD}．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積，等腰直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是把要求的三角形的面積轉(zhuǎn)化成能根據(jù)已知求出的三角形的面積的和或差的形式，再根據(jù)三角形的面積公式求出每一部分的面積．