Question

（2013•資陽）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，點D是BC邊上的點，CD=1，將△ABC沿直線AD翻折，使點C落在AB邊上的點E處，若點P是直線AD上的動點，則△PEB的周長的最小值是

1+

3

．

Answer 1

分析：連接CE，交AD于M，根據(jù)折疊和等腰三角形性質(zhì)得出當P和D重合時，PE+BP的值最小，即可此時△BPE的周長最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE，先求出BC和BE長，代入求出即可．

解答：
解：連接CE，交AD于M，
∵沿AD折疊C和E重合，
∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，
∴AD垂直平分CE，即C和E關(guān)于AD對稱，CD=DE=1，
∴當P和D重合時，PE+BP的值最小，即此時△BPE的周長最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE，
∵∠DEA=90°，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=60°，DE=1，
∴BE=

3

3

，BD=

2

3

3

，
即BC=1+

2

3

3

，
∴△PEB的周長的最小值是BC+BE=1+

2

3

3

+

1

3

3

=1+

3

，
故答案為：1+

3

．

點評：本題考查了折疊性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出P點的位置，題目比較好，難度適中．