Question

6．探究證明：
（1）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EG⊥AB，EF⊥AC，CD⊥AB，點(diǎn)G，F(xiàn)，D分別是垂足．求證：CD=EG+EF；
猜想探究：
（2）如圖2，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EG⊥AB于G，EF⊥AC交AC延長(zhǎng)線于F，CD⊥AB于D，直接猜想CD、EG、EF之間的關(guān)系為CD=EG-EF；
問題解決：
（3）如圖3，邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O、H在BD上，且BH=BC，連接CH，點(diǎn)E是CH上一點(diǎn)，EF⊥BD于點(diǎn)F，EG⊥BC于點(diǎn)G，則EF+EG=5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)S_△ABC=S_△ABE+S_△ACE，得到$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AB•EG+$\frac{1}{2}$AC•EF，根據(jù)等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）由于S_△ABC=S_△ABE-S_△ACE，于是得到$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AB•EG-$\frac{1}{2}$AC•EF，根據(jù)等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC=10，∠ABC=90°，AC⊥BD，根據(jù)勾股定理得到AC=10$\sqrt{2}$，由于S_△BCH=S_△BCE+S_△BHE，得到$\frac{1}{2}$BH•OC=$\frac{1}{2}$BC•EG+$\frac{1}{2}$BH•EF，根據(jù)等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖1，連接AE，
∵EG⊥AB，EF⊥AC，CD⊥AB，
∵S_△ABC=S_△ABE+S_△ACE，
∴$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AB•EG+$\frac{1}{2}$AC•EF，
∵AB=AC，
∴CD=EG+EF；

（2）解：CD=EG-EF，
理由：連接AE，
∵EG⊥AB，EF⊥AC，CD⊥AB，
∵S_△ABC=S_△ABE-S_△ACE，
∴$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AB•EG-$\frac{1}{2}$AC•EF，
∵AB=AC，
∴CD=EG-EF；
故答案為：CD=EG-EF；

（3）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=10，∠ABC=90°，AC⊥BD，
∴AC=10$\sqrt{2}$，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=5$\sqrt{2}$，
連接BE．
∵EF⊥BD于點(diǎn)F，EG⊥BC于點(diǎn)G，
∵S_△BCH=S_△BCE+S_△BHE，
∴$\frac{1}{2}$BH•OC=$\frac{1}{2}$BC•EG+$\frac{1}{2}$BH•EF，
∴OC=EG+EF=5$\sqrt{2}$，
故答案為：5$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，正方形的性質(zhì)，根據(jù)面積相等列出數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．