Question

【題目】如圖，點(diǎn)O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在DA和CD的延長(zhǎng)線上，且AE=DF，連接BE，AF，延長(zhǎng)FA交BE于G．

（1）試判斷FG與BE的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）連接OG，求∠OGF的度數(shù)；
（3）若AE= ，tan∠ABG= ，求OG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：FG⊥BE，

理由：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠EAB=∠ADF=90°，

在△ABE與△DAF中， ，

∴△ABE≌△DAF，

∴∠E=∠AFD，

∵∠EAG=∠DAF，

∴∠AGE=∠ADF=90°，

∴FG⊥BE；

（2）解：連接OA，OB，

∵點(diǎn)O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠AOB=90°，

∵∠AGB=90°，

∴A，G，B，O四點(diǎn)共圓，

∴∠AGO=∠ABO=45°；

（3）解：∵AE= ，tan∠ABG= ，

∴AB=2 ，

∴BE= =5，AO=BO= ，

∴AG= =2，

∴BG= =4，

過(guò)A作AM⊥OG于M，過(guò)B作BN⊥OG于N，

則△AGM，△BNG是等腰直角三角形，

∴BN=GN=2 ，AM=GM= ，

∵S四邊形AGBO=S△AGB+S△AOB=S△BOG+S△AOG，

∴ AGBG+ AOBO= OGBN+ OGAM，

即 ×2×4+ = 2 OG+ OG，

∴OG=3 ．

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°然后證出△ABE≌△DAF，依據(jù)三角形全等的性質(zhì)得出∠E=∠AFD，，從而得出結(jié)論；
（2）連接OA，OB，依據(jù)正方形的性質(zhì)得出△AOB是等腰直角三角形，推出A，G，B，O四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得出結(jié)論；
（3）根據(jù)三角函數(shù)的定義得出AB的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得BE的長(zhǎng)，OA=OB,根據(jù)三角形的面積公式得出AG的長(zhǎng)，從而利用勾股定理得出BG的長(zhǎng)，過(guò)A作AM⊥OG于M，過(guò)B作BN⊥OG于N，根據(jù)等腰直角三角形得性質(zhì)得到BN=GN，AM=GM根據(jù)圖形的面積列出方程即可求解。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對(duì)正方形的性質(zhì)的理解，了解正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．