Question

（2012•內(nèi)江）如果方程x²+px+q=0的兩個(gè)根是x₁，x₂，那么x₁+x₂=-p，x₁．x₂=q，請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：
（1）已知關(guān)于x的方程x²+mx+n=0，（n≠0），求出一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù)；
（2）已知a、b滿足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，求

a

b

+

b

a

的值；
（3）已知a、b、c滿足a+b+c=0，abc=16，求正數(shù)c的最小值．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)方程x²+mx+n=0，（n≠0）的兩個(gè)根分別是x₁，x₂，得出

1

x1

+

1

x2

=-

m

n

，

1

x1

•

1

x2

=

1

n

，再根據(jù)這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù)，即可求出答案．
（2）根據(jù)a、b滿足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，得出a，b是x²-15x-5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出

a

b

+

b

a

的值．
（3）根據(jù)a+b+c=0，abc=16，得出a+b=-c，ab=

16

c

，a、b是方程x²+cx+

16

c

=0的解，再根據(jù)c²-4•

16

c

≥0，即可求出c的最小值．

解答：解：（1）設(shè)方程x²+mx+n=0，（n≠0）的兩個(gè)根分別是x₁，x₂，
則：

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=-

m

n

，

1

x1

•

1

x2

=

1

x1x2

=

1

n

，
若一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù)，
則這個(gè)一元二次方程是：x²+

m

n

x+

1

n

=0；

（2）∵a、b滿足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，
∴a，b是x²-15x-5=0的解，且△=225+20=245＞0，
∴a≠b≠0，
a+b=15，ab=-5，

a

b

+

b

a

=

a2+b2

ab

=

(a+b)2-2ab

ab

=

152-2×(-5)

-5

=-47．

（3）∵a+b+c=0，abc=16，
∴a+b=-c，ab=

16

c

，
∴a、b是方程x²+cx+

16

c

=0的解，
∴c²-4•

16

c

≥0，
c²-

43

c

≥0，
∵c是正數(shù)，
∴c³-4³≥0，
c³≥4³，
c≥4，
∴正數(shù)c的最小值是4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．