Question

（2012•房山區(qū)一模）如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax²+8ax+16a+6經(jīng)過點(diǎn)B（0，4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，過點(diǎn)D、B作直線交x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)C在拋物線的對稱軸上，且C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4，連接BC、AC．求證：△ABC是等腰直角三角形；
（3）在（2）的條件下，將直線DB沿y軸向下平移，平移后的直線記為l，直線l 與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A′、B′，是否存在直線l，使△A′B′C是直角三角形，若存在求出l的解析式，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)B（0，4）代入拋物線y=ax²+8ax+16a+6，求出a的值，拋物線的解析式即可求出；
（2）首先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出C點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線BD解析式為：y=kx+4（k≠0），求出k的值，過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，證明△CEB≌△BOA（SAS），根據(jù)角與角之間的關(guān)系求出∠ABC=90°；
（3）存在．①當(dāng)∠CA′B′=90°時(shí)，如圖2所示，根據(jù)A′B′∥AB求出∠OA′B′=∠BAO，然后根據(jù)邊角關(guān)系tan∠ECA′=

1

2

，進(jìn)而求出A′坐標(biāo)，即可求出直線的解析式；②當(dāng)∠A′CB′=90°時(shí)，如圖3所示，過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，易證△A′FC≌△B′EC，結(jié)合①求出B′坐標(biāo)，即可求出直線解析式．

解答：（1）解：由題意知：16a+6=4
解得：a=-

1

8

故拋物線的解析式為：y=-

1

8

x2-x+4，

（2）證明：如圖1，由拋物線的解析式知：頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（-4，6）
∵點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-4，且在拋物線的對稱軸上，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-4）
設(shè)直線BD解析式為：y=kx+4（k≠0）
有：6=-4k+4，
解得k=-

1

2

∴BD解析式為y=-

1

2

x+4
∴直線BD與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0）
過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，則CE=4，BE=8
又∵OB=4，OA=8，
在△CEB和△BOA中，
∵

EC=OB ∠CEB=∠BOA=90° BE=AO

，
∴△CEB≌△BOA（SAS），
∴CB=AB，∠1=∠2
∵∠2+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°
∴∠1+∠3=90°，即∠ABC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形，

（3）存在．
①當(dāng)∠CA′B′=90°時(shí)，如圖2所示，
∵A′B′∥AB，
∴∠OA′B′=∠BAO，
又∵∠EA′C+∠ECA′=90°，
∠OA′B′+∠EA′C=90°，
∴∠BAO=∠OA′B′，
∴∠ECA′=∠BAO，
∵tan∠BAO=

1

2

∴tan∠ECA′=

1

2

∴EA′=2，A′O=2，
∴A′坐標(biāo)為（-2，0），
B′坐標(biāo)為（0，-1），
∴直線l解析式為y=-

1

2

x-1，
②當(dāng)∠A′CB′=90°時(shí)，如圖3所示，
過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，
利用△ABC是等腰直角三角形，
∵∠A′CF+∠FCB′=90°，
∠B′CE+∠FCB′=90°，
∴∠B′CE=∠A′CF，
在△A′FC和△B′EC中，
∵

∠B′EC=∠A′FC ∠ECB′=∠FCA′ A′C=B′C

，
∴△A′FC≌△B′EC（AAS），
則A′F=B′E
由①tan∠B′A′O=

1

2

設(shè)B′坐標(biāo)為（0，n）
則有

-n

4+4+n

=

1

2

解得n=-

8

3

B′坐標(biāo)為（0，-

8

3

），
故直線l解析式為y=-

1

2

x-

8

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題的知識，解答本題的關(guān)鍵熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，特別是（3）問需要分類討論，此問很容易出現(xiàn)漏解，此題難度較大．