Question

1．如圖，點P是等邊三角形ABC外接圓⊙O上的點（點P與點A、B、C不重合），有下列結(jié)論：①當弦PB最長時，PA=PC；②當∠ACP=30°時，弦PB最長；③當PO⊥AB時，∠ACP=30°；④當△APC是等腰三角形時，PO⊥AC，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①正確．根據(jù)最長的弦是直徑，再根據(jù)垂徑定理即可作出判斷．
②錯誤．見圖2可以說明．
③正確．根據(jù)垂徑定理OP垂直平分AB，所以點C在直線OP上，由此即可證明．
④正確．根據(jù)題意點P只有在$\widehat{AC}$上，根據(jù)垂徑定理即可解決問題．

解答 解：①正確．理由如下，
如圖1中，

∵PB是最長的弦，
∴PB是直徑，
∵AB=BC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CB}$，
∴PB⊥AC，
∴$\widehat{PA}$=$\widehat{PC}$，
∴PA=PC．
②錯誤，如圖2中，∠PAC=30°，顯然PB不是最長的弦．

③正確．如圖2中，∵OP⊥AB，
∴OP垂直平分AB，
∴OP經(jīng)過點C，
∴PC平分∠ACB，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACP=30°．
④正確．如圖1中，∵△PAC是等腰三角形，
∴點P只有在$\widehat{AC}$上，
∵PA=PC，
∴$\widehat{PA}$=$\widehat{PC}$，
∴OP⊥AC．
故①③④正確，
故選C．

點評 本題考查三角形的外接圓、外心、垂徑定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活應用垂徑定理，掌握弧相等所對的弦相等，屬于中考常考題型．