Question

已知：如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C分別在坐標軸上，且OA=OB=OC，

的面積為9，點P從C點出發(fā)沿y軸負方向以1個單位/ 秒的速度向下運動，連接PA，PB，D（-m，-m）為AC上的點（m>0）  （1）試分別求出A，B，C三點的坐標；

（2）設(shè)點P運動的時間為t秒，問：當t為何值時，DP與DB垂直相等？請說明理由；

 

（3）若PA=AB，在第四象限內(nèi)有一動點Q，連QA，QB，QP，且PQA=，當Q在第四象限內(nèi)運動時，下列說法：APQ+PBQ的度數(shù)和不變；‚BAP+PBQ的度數(shù)和不變，其中有且只有一個說法是正確的，請判斷正確的說法，并求這個不變的值。

 

Answer 1

解：（1）∵OA＝OB＝OC，∠AOC＝∠BOC＝90°

     ∴∠OAC＝∠OCA＝∠OBC＝∠OCB＝45°

     ∴∠ACB＝90°                                                  ……1分

     又△ABC的面積為9，

     ∴OA＝OC＝OB＝3                                                ……2分

     ∴A（－3，0），B（3，0），C（0，－3）                            ……4分

（2）當t＝3秒時，即CP＝OC時，DP與DB垂直且相等.                  ……5分

理由如下：

連結(jié)OD，作DM⊥x軸于點M，作DN⊥y軸于點N

∵D（－m，－m）

∴DM＝DN＝OM＝ON＝m

∴∠DOM＝∠DON＝45°

而∠ACO＝45°

∴DC＝DO

∴∠PCD＝∠BOD＝135°

又CP＝OC＝OB

∴△PCD≌△BOD (SAS)                                           ……7分

∴DP＝DB，∠PDC＝∠BDO

∴∠BDP＝∠ODC＝90°

即DP⊥DB.                                                     ……8分

（3）解：①正確.

在QA上截取QS＝QP，連結(jié)PS.                                    ……9分

∵∠PQA＝60°

∴△QSP是等邊三角形

∴PS＝PQ，∠SPQ＝60°

∵PO是AB的垂直平分線

∴PA＝PB

而PA＝AB

∴PA＝PB＝AB

    ∴∠APB＝60°

    ∴∠APS＝∠BPQ

∴△APS≌△BPQ                                                 ……11分

∴∠PAS＝∠PBQ

∴∠APQ＋∠PBQ＝∠APQ＋∠PAS

＝∠APB＋∠BPQ＋∠PAS

=∠APB＋∠APS＋∠PAS

=∠APB＋∠PSQ

=60°+ 60°=120°                      ……12分