如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)圖象的頂點(diǎn)為D,其圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-1,3.與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,在下面五個(gè)結(jié)論中:
①2a-b=0;②a+b+c>0;③c=-3a;④只有當(dāng)a=時(shí),△ABD是等腰直角三角形;⑤使△ACB為等腰三角形的a值可以有四個(gè).
其中正確的結(jié)論是
③④.
【解析】
試題分析:先根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為-1,3確定出AB的長(zhǎng)及對(duì)稱軸,再由拋物線的開(kāi)口方向判斷a與0的關(guān)系,由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系,然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理,進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷.
試題解析:①∵圖象與x軸的交點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為-1,3,
∴AB=4,
∴對(duì)稱軸x=-=1,
即2a+b=0.
故①錯(cuò)誤;
②根據(jù)圖示知,當(dāng)x=1時(shí),y<0,即a+b+c<0.
故②錯(cuò)誤;
③∵A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),
∴a-b+c=0,而b=-2a,
∴a+2a+c=0,即c=-3a.
故③正確;
④當(dāng)a=,則b=-1,c=-,
對(duì)稱軸x=1與x軸的交點(diǎn)為E,如圖,
∴拋物線的解析式為y=x2-x-,
把x=1代入得y=-1-=-2,
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2),
∴AE=2,BE=2,DE=2,
∴△ADE和△BDE都為等腰直角三角形,
∴△ADB為等腰直角三角形.
故④正確;
⑤要使△ACB為等腰三角形,則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC,
當(dāng)AB=BC=4時(shí),
∵AO=1,△BOC為直角三角形,
又∵OC的長(zhǎng)即為|c|,
∴c2=16-9=7,
∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上,
∴c=-,
與2a+b=0、a-b+c=0聯(lián)立組成解方程組,解得a=;
同理當(dāng)AB=AC=4時(shí)
∵AO=1,△AOC為直角三角形,
又∵OC的長(zhǎng)即為|c|,
∴c2=16-1=15,
∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上,
∴c=-
與2a+b=0、a-b+c=0聯(lián)立組成解方程組,解得a=;
同理當(dāng)AC=BC時(shí)
在△AOC中,AC2=1+c2,
在△BOC中BC2=c2+9,
∵AC=BC,
∴1+c2=c2+9,此方程無(wú)解.
經(jīng)解方程組可知只有兩個(gè)a值滿足條件.
故⑤錯(cuò)誤.
綜上所述,正確的結(jié)論是③④.
考點(diǎn):1.拋物線與x軸的交點(diǎn);2.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;3.等腰三角形的判定.
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如圖,CD是⊙O的直徑,弦DE∥OA,若∠D的度數(shù)是50°,則∠A的度數(shù)是 ( )
A.25° B.30° C.40° D.50°
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(本題滿分8分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(―2,1),B(-1,4),C(-3,2).
(1)以原點(diǎn)O為位似中心,位似比為1:2,在y軸的左側(cè),畫(huà)出△ABC放大后的圖形△A1B1C1,并直接寫(xiě)出C1點(diǎn)坐標(biāo);
(2)如果點(diǎn)D(a,b)在線段AB上,請(qǐng)直接寫(xiě)出經(jīng)過(guò)(1)的變化后點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D1的坐標(biāo).
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A. B. C. D.
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如圖,已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn),AE是⊙O的直徑,點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn),且AC平分∠PAE,過(guò)C作CD⊥PA,垂足為D.
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(2)若DC=4,AC=5,求⊙O的直徑的AE.
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已知α、β方程x2+2x-5=0的兩根,則α2+αβ+3α+β的值是_______.
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A.40° B.50° C.60° D.70°
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