如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)圖象的頂點(diǎn)為D,其圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-1,3.與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,在下面五個(gè)結(jié)論中:

①2a-b=0;②a+b+c>0;③c=-3a;④只有當(dāng)a=時(shí),△ABD是等腰直角三角形;⑤使△ACB為等腰三角形的a值可以有四個(gè).

其中正確的結(jié)論是

③④.

【解析】

試題分析:先根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為-1,3確定出AB的長(zhǎng)及對(duì)稱軸,再由拋物線的開(kāi)口方向判斷a與0的關(guān)系,由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系,然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理,進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷.

試題解析:①∵圖象與x軸的交點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為-1,3,

∴AB=4,

∴對(duì)稱軸x=-=1,

即2a+b=0.

故①錯(cuò)誤;

②根據(jù)圖示知,當(dāng)x=1時(shí),y<0,即a+b+c<0.

故②錯(cuò)誤;

③∵A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),

∴a-b+c=0,而b=-2a,

∴a+2a+c=0,即c=-3a.

故③正確;

④當(dāng)a=,則b=-1,c=-,

對(duì)稱軸x=1與x軸的交點(diǎn)為E,如圖,

∴拋物線的解析式為y=x2-x-,

把x=1代入得y=-1-=-2,

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2),

∴AE=2,BE=2,DE=2,

∴△ADE和△BDE都為等腰直角三角形,

∴△ADB為等腰直角三角形.

故④正確;

⑤要使△ACB為等腰三角形,則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC,

當(dāng)AB=BC=4時(shí),

∵AO=1,△BOC為直角三角形,

又∵OC的長(zhǎng)即為|c|,

∴c2=16-9=7,

∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上,

∴c=-

與2a+b=0、a-b+c=0聯(lián)立組成解方程組,解得a=;

同理當(dāng)AB=AC=4時(shí)

∵AO=1,△AOC為直角三角形,

又∵OC的長(zhǎng)即為|c|,

∴c2=16-1=15,

∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上,

∴c=-

與2a+b=0、a-b+c=0聯(lián)立組成解方程組,解得a=;

同理當(dāng)AC=BC時(shí)

在△AOC中,AC2=1+c2,

在△BOC中BC2=c2+9,

∵AC=BC,

∴1+c2=c2+9,此方程無(wú)解.

經(jīng)解方程組可知只有兩個(gè)a值滿足條件.

故⑤錯(cuò)誤.

綜上所述,正確的結(jié)論是③④.

考點(diǎn):1.拋物線與x軸的交點(diǎn);2.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;3.等腰三角形的判定.

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