Question

【題目】將兩塊全等的三角板如圖1擺放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°．

（1）將圖1中△A1B1C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得圖2，點(diǎn)P1是A1C與AB的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是A1B1與BC的交點(diǎn)，求證：CP1＝CQ；

（2）在圖2中，若AP1＝a，則CQ等于多少？

（3）將圖2中△A1B1C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A2B2C（如圖3），點(diǎn)P2是A2C與AP1的交點(diǎn)．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時(shí)，有△AP1C∽△CP1P2？這時(shí)線段CP1與P1P2之間存在一個(gè)怎樣的數(shù)量關(guān)系？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CQ＝a；（3）當(dāng)∠P1CP2＝∠P1AC＝30°時(shí)， P1P2＝CP1

【解析】試題分析：（1）根據(jù)△A1B1C和△ABC是兩個(gè)完全一樣的三角形，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°兩個(gè)條件證明△B1CQ≌△BCP1，然后可求證：CP1=CQ；

（2）作P1D⊥AC于D，根據(jù)∠A=30，∠P1CD=45°分別求出P1D=AP1，CP1=P1D=AP1，而AP1=a可求CQ．

（3）當(dāng)△A P1C∽△CP1P2時(shí)，∠P1CP2=∠P1AC=30°，再根據(jù)相似求出CP1與P1P2之間存在的數(shù)量關(guān)系；

試題解析：

（1）∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，

∴∠B1CQ=∠BCP1=45°；

又B1C=BC，∠B1=∠B，

∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）

∴CQ=CP1；

（2）如圖：作P1D⊥AC于D，

∵∠A=30°，

∴P1D=AP1；

∵∠P1CD=45°，

∴=sin45°=，

∴CP1=P1D=AP1；

又AP1=a，CQ=CP1，

∴CQ=a；

（3）當(dāng)∠P1CP2=∠P1AC=30°時(shí)，由于∠CP1P2=∠AP1C，則△AP1C∽△CP1P2，

所以將圖2中△A1B1C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到△A2B2C時(shí)，有△AP1C∽△CP1P2．

這時(shí)==，

∴P1P2=CP1．