Question

已知點(diǎn)A（a，y₁）、B（2a，y₂）、C（3a，y₃）都在拋物線(xiàn)y=5x²+12x上．
（1）求拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求△ABC的面積；
（3）是否存在含有y₁，y₂，y₃，且與a無(wú)關(guān)的等式？如果存在，試給出一個(gè)，并加以證明；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，得出的關(guān)于x的二元一次方程的解就是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也就求得出了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，由于三角形的面積無(wú)法直接求出，因此通過(guò)作輔助線(xiàn)用其他規(guī)則圖形的面積的“和，差”關(guān)系來(lái)求．如：分別過(guò)點(diǎn)A、B、C作x軸的垂線(xiàn)，垂足分別為D、E、F，S_△ABC=S_梯形ADFC-S_梯形ADEB-S_梯形BEFC由此可求出△ABC的面積．
（3）可將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)中，得出y₁，y₂，y₃的值，然后進(jìn)行比較即可得出它們之間的和差或倍數(shù)關(guān)系．
解答：解：（1）由5x²+12x=0，
得x₁=0，．
∴拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）、（，0）．

（2）當(dāng)a=1時(shí)，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），
分別過(guò)點(diǎn)A、B、C作x軸的垂線(xiàn)，垂足分別為D、E、F，
則有S_△ABC=S_梯形ADFC-S_梯形ADEB-S_梯形BEFC
=--=5（個(gè)單位面積）

（3）如：y₃=3（y₂-y₁）．
事實(shí)上，y₃=5×（3a）²+12×（3a）=45a²+36a．
3（y₂-y₁）=3[5×（2a）²+12×2a-（5a²+12a）]=45a²+36a．
∴y₃=3（y₂-y₁）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式來(lái)確定A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．