Question

如圖，直線l經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），且與曲線（x＞0）交于點(diǎn)B（2，1）．過點(diǎn)P（p，p-1）（p≥2）作x軸的平行線分別交曲線（x＞0）和（x＜0）于M，N兩點(diǎn)．
（1）求m的值及直線l的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)p，使得S_△AMN=4S_△APM？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）把B（2，1）代入（x＞0）得m=2×1=2，
設(shè)直線l的解析式是y=kx+b，
把A（1，0），B（2，1）代入y=kx+b中，得，解得
∴直線l的解析式是y=x-1；

（2）存在．理由如下：
∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（p，p-1），
∴點(diǎn)P在直線l上，
而MN∥x軸，
∴點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)都為p-1，
∴M（，p-1），N（-，p-1），
∴MN=，
∴S_△AMN=••（p-1）=2，
①當(dāng)p=2時(shí)，p-1=1，此時(shí)P與B重合，△APM不存在；
②當(dāng)p＞2時(shí)，如圖，
S_△APM==（p²-p-2）．
∵S_△AMN=4S_△APM，
∴4•（p²-p-2）=2，
整理得，p²-p-3=0，解得（不合題意，舍去），p₂=．
∴滿足條件的p的值為．
分析：（1）把B（2，1）代入（x＞0）即可得到m的值；然后利用待定系數(shù)法求出直線l的解析式；
（2）由于P點(diǎn)坐標(biāo)為（p，p-1）得到點(diǎn)P在直線l上，則點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)都為p-1，得到M（，p-1），N（-，p-1），可得MN=，計(jì)算出S_△AMN=••（p-1）=2，
討論：當(dāng)p=2時(shí)，p-1=1，此時(shí)P與B重合，△APM不存在；當(dāng)p＞2時(shí)，S_△APM==（p²-p-2），利用S_△AMN=4S_△APM，得到4•（p²-p-2）=2，然后解方程得到
解得（不合題意，舍去），p₂=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足其解析式；會(huì)計(jì)算三角形的面積．