Question

已知拋物線y=與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B、C兩點(diǎn)（C在B的左邊）．
（1）過(guò)A、O、B三點(diǎn)作⊙M，求⊙M的半徑；
（2）點(diǎn)P為弧OAB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何位置時(shí)△OPB的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及△OPB的最大面積．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B、C兩點(diǎn)（C在B的左邊），
∴y=0時(shí)，0=，
整理得出：x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
當(dāng)x=0，則y=，
由題意可得：A（0，），B（3，0），C（1，0），
∴OA=，OB=3，
連接AB，∵∠AOB=90°，
∴AB為⊙M的直徑，
∴AB=2，
∴⊙M的半徑為；

（2）在△AOB中，∵OA=，OB=3，∠AOB=90°，
∴tan∠OAB==，
∴∠OAB=60°，
∵點(diǎn)P為弧OAB上的動(dòng)點(diǎn)，
∴∠OPB=60°，
∵OB=3是定值，要使△OPB面積最大，只要使OB邊上的高最大，
即點(diǎn)P到OB邊的距離最大，
∴點(diǎn)P為為弧OAB的中點(diǎn)，此時(shí)為△OPB為等邊三角形，
且邊長(zhǎng)為3，
過(guò)點(diǎn)P作PT⊥OB于點(diǎn)T，
根據(jù)題意得出：OT=，PT=，
∴P（，），△OPB的最大面積為：×3×=．
分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法得出A，B，C坐標(biāo)，進(jìn)而得出AB的長(zhǎng)，即可得出⊙M的半徑；
（2）首先得出利用點(diǎn)P為弧OAB上的動(dòng)點(diǎn)，則∠OPB=60°，再利用OB=3是定值，要使△OPB面積最大，只要使OB邊上的高最大，進(jìn)而利用等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△OPB的最大面積．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及等邊三角形的判定與性質(zhì)和圓周角定理等知識(shí)，根據(jù)已知得出要使△OPB面積最大，只要使OB邊上的高最大，即點(diǎn)P到OB邊的距離最大，進(jìn)而得出P點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．