Question

如圖，菱形ABCD中，AB=10，，點(diǎn)E在AB上，AE=4，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD，交CD于F，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以1個(gè)單位/s的速度沿著線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)E出發(fā)也以1個(gè)單位/s的速度沿著線段EF向終點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）填空：當(dāng)t=5時(shí)，PQ=______

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥EF，垂足為M，利用銳角三角函數(shù)求得PM的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求得EM的長(zhǎng)，再利用勾股定理求得PQ的長(zhǎng)即可；
（2）根據(jù)題意畫出圖象，結(jié)合圖形和已知條件證得△EPQ∽△FMQ，進(jìn)而求得MC的長(zhǎng)，然后求得菱形的周長(zhǎng)被分成兩部分，并據(jù)此求得兩部分的比值；
（3）過(guò)P作PH⊥AD于H，并利用勾股定理PQ²=后求得t的值即可．
解答：解：（1）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

過(guò)點(diǎn)P作PM⊥EF，垂足為M，
由題意可知AE=4，AP=EQ=5，則EP=1，
∵EF∥AD，
∴∠BEF=∠A，即sin∠BEF=sinA=，
即=，則PM=，
根據(jù)勾股定理得：EM=，
則MQ=5-=，
在直角三角形PQM中，根據(jù)勾股定理得：
PQ==2；

（2）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

∵BQ平分∠ABC，
∴∠EBQ=∠CBQ，
又∵BC∥EF，
∴∠CBQ=∠EQB，
∴∠EBQ=∠EQB，
∴EB=EQ=10-4=6，
則t=6，AP=6，
∴BP=4，QF=4，
設(shè)PQ交CD于點(diǎn)M，
∵AB∥CD，
∴∠EPQ=∠FMQ，∠PEQ=∠MFQ，
∴△EPQ∽△FMQ，
∴=，即=，
∴FM=，
則MD=4-=，MC=，
則直線PM分菱形分成的兩部分的周長(zhǎng)分別為AP+AD+MD和PB+BC+CM，
即菱形的周長(zhǎng)被分為和，
所以這兩部分的比為7：8；

（3）過(guò)P作PH⊥AD于H，交EF于G點(diǎn)，
則PH=，PE=t-4，PG=（t-4），EG=（t-4），
∴GQ=t-EG=t+，
PQ²=PG²+GQ²=（t-）²+（t+）²，
由題意可得方程=（t-）²+（t+）²，
解得：t=10．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)、切線的判定及性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確地作出圖形．