Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+3ax-4a與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，-2）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上有一動點P，求PB+PC的值最小時的點P的坐標；
（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A、C、M、N四點為頂點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）將C點坐標代入求出a值，繼而可得出拋物線的解析式；
（2）根據題意及二次函數的圖象可知，當點P為AC和對稱軸的交點時，PB+PC的值最小，求出點P的坐標；
（3）本題應分情況討論：將AC平移，令C點落在x軸（即M點）、A點落在拋物線（即N點）上，可根據平行四邊形的性質，得出N點縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求得N點坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

2

x²+3ax-4a過點C（0，-2），
∴-4a=-2，
∴a=

1

2

，
∴y=

1

2

x²+

3

2

x-2；
（2）如圖1所示，連接PA、PB、PC，
∵點P在拋物線的對稱軸上，
∴PB=PA，x_P=-

3

2

，
∴PB+PC=PA+PC，
要使PB+PC最小，即PA+PC最小，
點P需在AC上，
令

1

2

x²+

3

2

x-2=0，
解得：x₁=-4，x₂=1，
即點A（-4，0），B（1，0），
設直線AC的解析式為y=kx+b，
將點A、C代入解析式為：

-4k+b=0 b=-2

，
解得：

k=- 1 2 b=-2

，
解析式為：y=-

1

2

x-2，
當x=-

3

2

時，y=-

5

4

，
即當PB+PC的值最小時的點P的坐標為（-

3

2

，-

5

4

）；

（3）存在．
①當AC為對角線時，則AM∥NC，如圖2所示，
易得N₁（-3，-2）；
②當AM為對角線時，AC∥MN，AC=MN，
線段MN可以看成由線段AC平移得到，
則y_N-y_A=y_M-y_C，y_N=2，
∵y=

1

2

x²+

3

2

x-2，
∴

1

2

x²+

3

2

x-2=2，
解得：x=

-3± 41

2

，
此時存在點N₂（

-3+ 41

2

，2），N₃（

-3- 41

2

，2）；
③當CN為對角線時AM∥CN，且AM=CN，
易得點N₄（-3，-2）與點N₁重合．
綜上所述，點N的坐標有三種情況，分別為：
N₁（-3，-2）；N₂（

-3+ 41

2

，2），N₃（

-3- 41

2

，2）．

點評：此題考查了二次函數綜合題，涉及到待定系數法求函數解析式、平行四邊形的性質、二次函數的應用等知識，綜合性強，難度較大，對學生綜合運用知識的能力要求較高．