Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=6cm，AC=8cm，動點P從C點出發(fā)以1cm/秒的速度沿CA，AB運動到B．
（1）設(shè)P點運動的路程為xcm，△BCP的面積為ycm²，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）從C點出發(fā)幾秒鐘時，△BCP的面積為△ABC的？

Answer 1

解：（1）①P點在AC上，
∴PC=x，
∵∠ACB=90°，BC=6cm，
∵△BCP的面積為ycm²，
∴y=BC•x•，即y=3x；
②P點在AB上，
∵∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，
∴AB=10，
∴BP=10-x，
作CD⊥AB，
∴△ABC∽△CBD，
∴AC：CD=AB：BC，
∴CD=，
∵△BCP的面積為ycm²，
∴y=（10-x）•，
∴y=．

（2）∵BC=6cm，AC=8cm，
∴△ABC的面積=24cm²，
∴△BCP的面積為：24•=6，
①P點在AB上，
∴6=，
∴x=7.5cm，
∵點P從C點出發(fā)的速度為1cm/秒，
∴7.5cm÷1cm/秒=7.5秒，
∴從C點出發(fā)7.5秒鐘時，△BCP的面積為△ABC的．
②P點在AC上，
∴6=3x，
∴x=2，
∵點P從C點出發(fā)的速度為1cm/秒，
∴2cm÷1cm/秒=2秒，
∴從C點出發(fā)2秒鐘時，△BCP的面積為△ABC的．
答：從C點出發(fā)2秒或7.5秒鐘時，△BCP的面積為△ABC的．
分析：（1）首先根據(jù)情況進(jìn)行討論，第一種情況：P點在AC上，那么y=BC•x•，即y=3x；第二種情況：P點在AB上，那么根據(jù)勾股定理求出AB=10，然后作出BP的高，通過求證三角形相似，求出高的值，即可推出函數(shù)式．
（2）首先求出△ABC的面積，即可確定△BCP的面積，然后根據(jù)（1）的結(jié)論，即可推出路程x的值，再根據(jù)P點的運動速度，便可求出運動時間．
點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，關(guān)鍵在于分情況進(jìn)行討論，求出y關(guān)于x的解析式．