Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的邊AB在x軸上，∠ABC=90°，AB=BC，OA=1，OB=4，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖①，點(diǎn)P是拋物線上位于x軸下方的一點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)P，Q分別向x軸作垂線，垂足為點(diǎn)D，E，記矩形DPQE的周長(zhǎng)為d，求d的最大值，并求出使d最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖②，點(diǎn)M是拋物線上位于直線AC下方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥AC于點(diǎn)F，連接MC，作MN∥BC交直線AC于點(diǎn)N，若MN將△MFC的面積分成2：3兩部分，請(qǐng)確定M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知得：A（﹣1，0）、C（4，5），

∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）C（4，5），

∴ ，

解得 ．

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3，

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）

（2）

解：由（1）知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，

設(shè)點(diǎn)P為（t，t2﹣2t﹣3），﹣1＜t＜3

∵P、Q為拋物線上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

∴PQ=2|t﹣1|，

當(dāng)t＞1時(shí)，d=2[2（t﹣1）+（﹣t2+2t+3）]=﹣2t2+8t+2=﹣2（t﹣2）2+10，

∵﹣2＜0，

∴當(dāng)t=2時(shí)，d有最大值為10，即P（2，﹣3）；

當(dāng)t＜1時(shí)，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性得，點(diǎn)P為（0，﹣3）時(shí)，d有最大值10，；

綜上，當(dāng)P為（0，﹣3）或（2，﹣3）時(shí)，d有最大值10

（3）

解：過(guò)點(diǎn)F作FH⊥MN于H，過(guò)C作CG⊥MN于G，則∠ANM=∠ACB=45°，

∵M(jìn)F⊥AC，

∴FH= MN，

∴ = = ，

∵A（﹣1，0，C（4，5），

∴直線AC的解析式為y=x+1，

設(shè)M（m，m2﹣2m﹣3），其中﹣1＜m＜4，則CG=4﹣m，

由MN∥BC得，N（m，m+1），

∴MN的長(zhǎng)為：（m+1）﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m+4，

當(dāng) = 時(shí)，則3MN=4CG，即3（﹣m2+3m+4）=4（4﹣m），

解得m1= ，m2=4（舍去），

∴M（ ，﹣ ），

當(dāng) = 時(shí)，則2MN=6CG，即2（﹣m2+3m+4）=6（4﹣m），

解得m3=2，m4=4（舍去），

∴M（2，﹣3）．

綜上，當(dāng)M的坐標(biāo)為（ ，﹣ ）或（2，﹣3）時(shí)，MN將△MFC的面積分成2：3兩部分．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）設(shè)點(diǎn)P為（t，t2﹣2t﹣3），﹣1＜t＜3，因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸x=1，所以PQ=2|t﹣1|，然后分三種情況討論即可求得；（3）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥MN于H，過(guò)C作CG⊥MN于G，則∠ANM=∠ACB=45°，進(jìn)而求得FH= MN，從而得出 = = ，根據(jù)A、C的坐標(biāo)求得直線AC的解析式為y=x+1，設(shè)M（m，m2﹣2m﹣3），其中﹣1＜m＜4，則CG=4﹣m，由MN∥BC得N（m，m+1），求得MN的長(zhǎng)為：（m+1）﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m+4，然后分兩種情況：當(dāng) = 時(shí)，則3MN=4CG；當(dāng) = 時(shí)，則2MN=6CG；列出關(guān)于m的方程，解方程即可求得M的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的概念的相關(guān)知識(shí)，掌握一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱(chēng)y為x的二次函數(shù)，以及對(duì)二次函數(shù)的圖象的理解，了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)．