Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，動點A(a,0)在x軸的正半軸上，定點B(m, n)在第一象限內（m＜2≤a）.在△OAB外作正方形ABCD和正方形OBEF ， 連接FD ， 點M為線段FD的中點.作BB1⊥x軸于點B1 ， 作FF1⊥x軸于點F1.

（1）填空：由△≌△ ， 及B(m, n)可得點F的坐標為 ， 同理可得點D的坐標為；（說明：點F ， 點D的坐標用含m ， n ， a的式子表示）
（2）直接利用（1）的結論解決下列問題：
①當點A在x軸的正半軸上指定范圍內運動時，點M總落在一個函數圖象上，求該函數的解析式（不必寫出自變量x的取值范圍）；
②當點A在x軸的正半軸上運動且滿足2≤a≤8時，求點M所經過的路徑的長.

Answer 1

【答案】
（1）；；；
（2）

解：①設點M的坐標為 .

∵ 點M為線段FD的中點， ， ，

可得點M的坐標為 .

∴

消去a，得 .

所以，當點A在x軸的正半軸上指定范圍內運動時，相應的點M在運動時總落在直線 上，即點M總落在函數 的圖象上.

②如圖2，當點A在x軸的正半軸上運動且滿足2≤a≤8時，點A運動的路徑為線段 ，其中 ， ，相應地，點M所經過的路徑為直線 上的一條線段 ，其中 ， .

而 ，

∴ 點M所經過的路徑的長為

【解析】（1）如圖1.由△ ≌△ ，及B(m, n)可得點F的坐標為 ，同理可得點D的坐標為 .

【考點精析】根據題目的已知條件，利用線段的中點和兩點間的距離的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握線段的中點到兩端點的距離相等；同軸兩點求距離，大減小數就為之．與軸等距兩個點，間距求法亦如此．平面任意兩個點，橫縱標差先求值．差方相加開平方，距離公式要牢記．