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【題目】如圖,拋物線C1:y=x2+4x﹣3與x軸交于A、B兩點,將C1向右平移得到C2,C2與x軸交于B、C兩點.

(1)求拋物線C2的解析式.

(2)點D是拋物線C2在x軸上方的圖象上一點,求S△ABD的最大值.

(3)直線l過點A,且垂直于x軸,直線l沿x軸正方向向右平移的過程中,交C1于點E交C2于點F,當線段EF=5時,求點E的坐標.

【答案】(1)、y=﹣x2+8x﹣15;(2)、1;(3)、(,)或(

【解析】試題分析:(1)、先依據配方法求得拋物線C1的頂點坐標,然后令y=0,求得點A、B的坐標,從而可判斷出C1平移的方向和距離,于是得到拋物線C2的頂點坐標,從而得到C2的解析式;(2)、根據函數圖象可知,當點DC2的頂點時,△ABD的面積最大;(3)、設點E的坐標為(x﹣x2+4x﹣3),則點F的坐標為(x,﹣x2+8x﹣15),然后可求得EF長度的解析式,最后根據EF=5,可列出關于x的方程,從而可求得x的值,于是的得到點E的坐標.

試題解析:(1)、∵y=﹣x2+4x﹣3=﹣x﹣22+1,拋物線C1的頂點坐標為(21).

y=0,得x﹣22+1=0,解得:x1=1,x2=3∵C2經過B,∴C1向右平移了2個單位長度.

將拋物線向右平移兩個單位時,拋物線C2的頂點坐標為(4,1),

∴C2的解析式為y2=﹣x﹣42+1,即y=﹣x2+8x﹣15

(2)、根據函數圖象可知,當點DC2的頂點時,縱坐標最大,即D4,1)時,△ABD的面積最大

SABD=AB|yD|=×2×1=1

(3)、設點E的坐標為(x,﹣x2+4x﹣3),則點F的坐標為(x,﹣x2+8x﹣15).

EF=|﹣x2+4x﹣3﹣x2+8x﹣15|=|﹣4x+12|∵EF=5,∴﹣4x+12=5﹣4x+12=﹣5

解得:x=x=

E的坐標為(,)或()時,EF=5

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(2)【類比引申】
如圖②,在四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,點E,F分別在邊BC,CD上,則當∠EAF與∠BAD滿足關系時,仍有EF=BE+FD.請說明理由.
(3)【探究應用】
如圖③,在某公園的同一水平面上,四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB=AD=80 m,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC,CD上分別有景點E,F,且AE⊥AD,DF=40( -1)m,現要在E,F之間修一條筆直的道路,求這條道路EF的長(結果精確到1 m,參考數據: ≈1.41, ≈1.73).

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