Question

在“春季經貿洽談會”上，我市某服裝廠接到生產一批出口服裝的訂單，要求必須在12天（含12天）內保質保量完成，且當天加工的服裝當天立即空運走．為了加快進度，車間采取工人輪流休息，機器滿負荷運轉的生產方式，生產效率得到了提高．這樣每天生產的服裝數量y（套）與時間x（元）的關系如下表：

時間x（天）	1	2	3	4	…
每天產量y（套）	22	24	26	28	…

由于機器損耗等原因，當每天生產的服裝數達到一定量后，平均每套服裝的成本會隨著服裝產量的增加而增大，這樣平均每套服裝的成本z（元）與生產時間x（天）的關系如圖所示．

（1）判斷每天生產的服裝的數量y（套）與生產時間x（元）之間是我們學過的哪種函數關系？并驗證．
（2）已知這批外貿服裝的訂購價格為每套1570元，設車間每天的利潤為w（元）．求w（元）與x（天）之間的函數關系式，并求出哪一天該生產車間獲得最高利潤，最高利潤是多少元？
（3）從第6天起，該廠決定該車間每銷售一套服裝就捐a元給山區(qū)的留守兒童作為建圖書室的基金，但必須保證每天扣除捐款后的利潤隨時間的增大而增大．求a的最大值，此時留守兒童共得多少元基金？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法求出一次函數解析式，進而驗證得出即可；
（2）根據自變量的取值范圍，分別求出當1≤x≤5時，以及當6≤x≤12時，求出W的值，即可得出答案；
（3）利用二次函數的性質以及對稱軸x=，在對稱軸的左側，Q隨x的增大而增大，求出即可．
解答：解：（1）由表格知，y是x的一次函數
設y=kx+b
則，
∴；
∴y=2x+20；
檢驗：當x=3時，y=2×3+20=26，
當x=4時，y=2×4+20=28，
∴（3，26），（4，28）均滿足y=2x+20；

（2）由題意得：z=400（1≤x≤5的整數），
當6≤x≤12的整數時，
設z=k′x+b′，
∴．
∴，
∴z ₁=40x+200；
當1≤x≤5時．
W ₁=（2x+20）（1570-400），
即W ₁=2340x+23400，
∵2340＞0，
∴W ₁隨x的增大而增大．
∴x=5時，
W _1最大=2340×5+23400=35100（元），
當6≤x≤12時，
W ₂=（2x+20）（1570-40x-200）=（2x+20）（1370-40x），
即W ₂=-80x ²+1940x+27400，
∵-80＜0，∴開口向下
對稱軸x=-=12，
在對稱軸的左側，W₂隨x的增大而增大．
∴當x=12時，W _2最大=39160（元）
∵39160＞35100，
∴第12天獲得最大利潤為39160元；

（3）設捐款a元后的利潤為Q（元）
∵6≤x≤12，
∴Q=（2x+20）（1570-40x-200-a）
=（2x+20）（1370-2a）x+27400-20a，
∵-80＜0，開口向下，
對稱軸x=，在對稱軸的左側，Q隨x的增大而增大．
∴≥12，
∴a≤10，
∴a的最大值是10，
共得到基金（32+34+36+38+40+42+44）×10=2660（元）．
點評：此題主要考查了一次函數與二次函數的應用，根據已知結合自變量的取值范圍確定函數解析式進而求出是解題關鍵．