Question

如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AD∥BC，弧AB+弧CD=弧AD+弧BC，若AD=4，BC=6，則四邊形ABCD的面積為________．

Answer 1

25
分析：此題實質是求等腰梯形ABCD的面積，已知上下底的長，需求出梯形的高．
作OE⊥AD于E，反向延長交BC于點F，則OF⊥BC，那么EF就是所求的梯形的高；
連接OA、OB、OC、OD，通過證△AOE≌△OBF，可求得OE、OF的長，即可求出梯形的高；
由此可根據梯形的面積公式求出四邊形ABCD的面積．
解答：解：連接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AD于E，反向延長交BC于點F，
∵AD∥BC，
∴OF⊥BC，
等腰△AOD和等腰△BOC中：OE⊥AD，OF⊥BC，
因此∠AOE=∠AOD，∠BOF=∠BOC；AE=2，BF=3，
∵弧AB+弧CD=弧AD+弧BC，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
又∵∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠OAE=∠BOF，
又∵OA=OB，∠AEO=∠OFB，
∴△AOE≌△OBF，
∴OE=BF=3，OF=AE=2，
∴EF=5，
∴該梯形的面積=×10×5=25．
點評：本題綜合考查了平行線的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質以及梯形的面積公式等知識，綜合性強，難度稍大．