Question

如圖，正方形ABCD的邊長為2cm，在對(duì)稱中心O處有一釘子．動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P沿A?B?C方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿A?D方向以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)D停止．P，Q兩點(diǎn)用一條可伸縮的細(xì)橡皮筋連接，設(shè)x秒后橡皮筋掃過的面積為ycm²．
（1）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)橡皮筋剛好觸及釘子時(shí)，求x值；
（3）當(dāng)1≤x≤2時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出橡皮筋從觸及釘子到運(yùn)動(dòng)停止時(shí)∠POQ的變化范圍；
（4）當(dāng)0≤x≤2時(shí)，請(qǐng)?jiān)诮o出的直角坐標(biāo)系中畫出y與x之間的函數(shù)圖象．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，AP=2x，AQ=x，則y=

1

2

AQ•AP=x²．
（2）根據(jù)題意，橡皮筋剛好觸及釘子時(shí)，橡皮筋掃過的面積正好是正方形的一半由此的求出x的值．
（3）要分兩種情況進(jìn)行討論，一是橡皮筋剛觸及釘子時(shí)及其以前，二是觸及釘子，橡皮筋彎曲后兩種情況．第一種情況，按梯形的面積進(jìn)行計(jì)算．第二種情況要從中間分成兩個(gè)梯形，然后按兩個(gè)梯形的面積進(jìn)行計(jì)算．
（4）根據(jù)（1）（2）（3）中得出的不同x的取值下的y的函數(shù)式畫圖即可．

解答：解：（1）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，AP=2x，AQ=x，y=

1

2

AQ•AP=x²，
即y=x²．

（2）當(dāng)S_{四邊形ABPQ}=

1

2

S_{正方形ABCD}時(shí)，橡皮筋剛好觸及釘子，
BP=2x-2，AQ=x，

1

2

（2x-2+x）×2=

1

2

×2²，∴x=

4

3

．

（3）當(dāng)1≤x≤

4

3

時(shí)，AB=2，PB=2x-2，AQ=x，
∴y=

AQ+BP

2

•AB=

x+2x-2

2

×2=3x-2，
即y=3x-2．
作OE⊥AB，E為垂足．
當(dāng)

4

3

≤x≤2時(shí)，
BP=2x-2，AQ=x，OE=1，y=S_梯形BEOP+S_梯形OEAQ=

1+2x-2

2

×1+

1+x

2

×1=

3

2

x，
即y=

3

2

x．（6分）
90°≤∠POQ≤180°．

（4）如圖所示：
．

點(diǎn)評(píng)：本題為運(yùn)動(dòng)型綜合題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的綜合能力．運(yùn)動(dòng)類題，要以特定靜止?fàn)顟B(tài)，尋找量之間關(guān)系