Question

9．△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BA的延長線上，AF平分∠DAC，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，BE的延長線交AF于點(diǎn)F，試猜想AF與BC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 注意到等腰三角形的兩底角相等，頂角等于兩底角之和，又由于AF平分頂角的外角，從而易得∠FAC=∠BCA，進(jìn)而得AF∥BC，△AEF與△CEB全等，從而AF=BC．

解答 解：如圖，

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AF平分∠CAD，
∴∠CAF=∠FAD，
∵∠CAD=∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB=∠CAF，
∴AF∥BC，
在△AEF和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠ECB}\\{AE=CE}\\{∠AEF=∠CEB}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CEB（ASA），
∴AF=BC．
綜上所述，AF∥BC，AF=BC．

點(diǎn)評 本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，難度適中．