Question

如圖，雙曲線y=

k

x

（x＞0）經(jīng)過△OAB的頂點A和OB的中點C，AB∥x軸，點A的坐標(biāo)為（2，3）．
（1）確定k的值；
（2）若點D（3，m）在雙曲線上，求直線AD的解析式；
（3）計算△OAB的面積．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,相似三角形的性質(zhì)

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）將A坐標(biāo)代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）將D坐標(biāo)代入反比例解析式求出m的值，確定出D坐標(biāo)，設(shè)直線AD解析式為y=kx+b，將A與D坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可確定出直線AD解析式；
（3）過點C作CN⊥y軸，垂足為N，延長BA，交y軸于點M，得到CN與BM平行，進(jìn)而確定出三角形OCN與三角形OBM相似，根據(jù)C為OB的中點，得到相似比為1：2，確定出三角形OCN與三角形OBM面積比為1：4，利用反比例函數(shù)k的意義確定出三角形OCN與三角形AOM面積，根據(jù)相似三角形面積之比為1：4，求出三角形AOB面積即可．

解答：解：（1）將點A（2，3）代入解析式y(tǒng)=

k

x

，
得：k=6；

（2）將D（3，m）代入反比例解析式y(tǒng)=

6

x

，
得：m=

6

3

=2，
∴點D坐標(biāo)為（3，2），
設(shè)直線AD解析式為y=kx+b，
將A（2，3）與D（3，2）代入
得：

2k+b=3 3k+b=2

，
解得：

k=-1 b=5

則直線AD解析式為y=-x+5；

（3）過點C作CN⊥y軸，垂足為N，延長BA，交y軸于點M，
∵AB∥x軸，
∴BM⊥y軸，
∴MB∥CN，
∴△OCN∽△OBM，
∵C為OB的中點，即

OC

OB

=

1

2

，
∴

S△OCN

S△OBM

=（

1

2

）²，
∵A，C都在雙曲線y=

6

x

上，
∴S_△OCN=S_△AOM=3，
由

3

3+S△AOB

=

1

4

，
得：S_△AOB=9，
則△AOB面積為9．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及反比例函數(shù)k的意義，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．