Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，點(diǎn)D在邊BC上，且CD=3cm，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1cm/s的速度沿AC向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q以1.25cm/s的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥BC交AD于點(diǎn)E，連接EQ，設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（0＜t＜4）．

（1）連接DP，當(dāng)t＞1時(shí)，四邊形EQDP能夠成為平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）連接PQ，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不論t取何值，總有PQ與AB平行．為什么？

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△EDQ為直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析 （3）當(dāng)t=2.5秒或t=3.1秒時(shí)，△EDQ為直角三角形．

【解析】（1）先根據(jù)點(diǎn)P以1厘米/秒的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)求出1秒后AP及BQ的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出QD及的長(zhǎng)，再由PE∥BC可知，故可得出PE=QD，由PE∥BC即可得出結(jié)論；

（2）先用t表示出PC及CQ的長(zhǎng)，再求出即可得出結(jié)論；

（3）分∠EQP=90°，∠QED=90°兩種情況，通過(guò)三角形相似，列出比例關(guān)系，求出t的值即可．

解：（1）能，

如圖1，

∵點(diǎn)P以1厘米/秒的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，t=1秒，

∴AP=1厘米，BQ=1.25厘米，

∵AC=4cm，BC=5cm，點(diǎn)D在BC上，CD=3cm，

∴PC=AC﹣AP=4﹣1=3（厘米），QD=BC﹣BQ﹣CD=5﹣1.25﹣3=0.75（厘米），

∵PE∥BC，

∴△APE∽△ACD，

∴,，解得PE=0.75，

∵PE∥BC，PE=QD，

∴四邊形EQDP是平行四邊形；

（2）如圖2，

∵點(diǎn)P以1厘米/秒的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，

∴PC=AC﹣AP=4﹣t，QC=BC﹣BQ=5﹣1.25t，

∴，，

∴，

又∵∠C=∠C，

∴△CPQ∽△CAB，

∴∠CPQ=∠CAB，

∴PQ∥AB；

（3）分兩種情況討論：

①如圖3，

當(dāng)∠EQD=90°時(shí)，顯然有EQ=PC=4﹣t，

又∵EQ∥AC，

∴△EDQ∽△ADC

∴，

∵BC=5厘米，CD=3厘米，

∴BD=2厘米，

∴DQ=1.25t﹣2，

∴，解得t=2.5（秒）；

②如圖4，

當(dāng)∠QED=90°時(shí)，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，則四邊形EMCP是矩形，EM=PC=4﹣t，

在Rt△ACD中，

∵AC=4厘米，CD=3厘米，

∴AD==5，

∴CN=，

∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，

∴△EDQ∽△CDA，

∴，

∴，

解得t=3.1（秒）．

綜上所述，當(dāng)t=2.5秒或t=3.1秒時(shí)，△EDQ為直角三角形．

“點(diǎn)睛”此題是四邊形縱綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是判定出△APE∽△ACD，解（2）的關(guān)鍵是判斷出，解（3）的關(guān)鍵是用分類討論的思想解決問(wèn)題．