【題目】已知∠ACD=90°,AC=DC,MN是過點(diǎn)A的直線,過點(diǎn)D作DB⊥MN于點(diǎn)B,連接CB.
(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖(1),過點(diǎn)C作CE⊥CB,與MN交于點(diǎn)E,則易發(fā)現(xiàn)BD和EA之間的數(shù)量關(guān)系為 , BD、AB、CB之間的數(shù)量關(guān)系為 .
(2)拓展探究
當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖(2)位置時,BD、AB、CB之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想,并給予證明.
(3)解決問題
當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖(3)位置時(點(diǎn)C、D在直線MN兩側(cè)),若此時∠BCD=30°,BD=2時,CB= .
【答案】
(1)BD=AE,BD+AB= CB
(2)解:證明:如圖2,過點(diǎn)C作⊥CB交MN于點(diǎn)E,
∵∠ACD=90°,
∴∠ACE=90°+∠ACB,∠BCD=90°+∠ACB,
∴∠ACE=∠BCD,
∵DB⊥MN,
∴∠CAE=90°﹣∠AFB,∠D=90°﹣∠CFD,
∵∠AFB=∠CFD,
∴∠CAE=∠D,
∵AC=DC,
∴△ACE≌△DCB,
∴AE=DB,CE=CB,
∵∠ECB=90°,
∴△ECB是等腰直角三角形,
∴BE= CB,
∴BE=AE﹣AB=DB﹣AB,
∴BD﹣AB= CB;
(3) ﹣
【解析】解:(1)如圖1,過點(diǎn)C作⊥CB交MN于點(diǎn)E,
∵∠ACD=90°,
∴∠ACE=90°﹣∠ACB,∠BCD=90°﹣∠ACB,
∴∠ACE=∠BCD,
∵DB⊥MN,
∴在四邊形ACDB中,∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360°,
∴∠BAC+∠D=180°,
∵∠CE+∠BAC=180°,
∠CAE=∠D,
∵AC=DC,
∴△ACE≌△DCB,
∴AE=DB,CE=CB,
∵∠ECB=90°,
∴△ECB是等腰直角三角形,
∴BE= CB,
∴BE=AE+AB=DB+AB,
∴BD+AB= CB;
所以答案是:BD=AE,BD+AB= CB;(3)如圖3,過點(diǎn)C作⊥CB交MN于點(diǎn)E,
(3)∵∠ACD=90°,
∴∠ACE=90°﹣∠DCE,
∠BCD=90°﹣∠DCE,
∴∠ACE=∠BCD,
∵DB⊥MN,
∴∠CAE=90°﹣∠AFC,∠D=90°﹣∠CFD,
∵∠AFB=∠BFD,
∴∠CAE=∠D,
∵AC=DC,
∴△ACE≌△DCB,
∴AE=DB,CE=CB,
∵∠ECB=90°,
∴△ECB是等腰直角三角形,
∴BE= CB,
∴BE=AB﹣AE=AB﹣DB,
∴AB﹣DB= CB;
∵△BCE為等腰直角三角形,
∴∠BEC=∠CBE=45°,
∵∠ABD=90°,
∴∠DBH=45°
過點(diǎn)D作DH⊥BC,
∴△DHB是等腰直角三角形,
∴BD= BH=2,
∴BH=DH= ,
在Rt△CDH中,∠BCD=30°,DH= ,
∴CH= DH= × = ,
∴BC=CH﹣BH= ﹣ ;
所以答案是: ﹣ .
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用勾股定理的概念和解直角三角形的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;解直角三角形的依據(jù):①邊的關(guān)系a2+b2=c2;②角的關(guān)系:A+B=90°;③邊角關(guān)系:三角函數(shù)的定義.(注意:盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB⊥BC,對角線AC、BD相交于點(diǎn)E,E為BD中點(diǎn),且AD=BD,AB=2,∠BAC=30°,則DC=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB∥CD,分別探究下面三個圖形中∠P和∠A,∠C的關(guān)系,請你從所得三個關(guān)系中任意選出一個,說明你探究結(jié)論的正確性.
結(jié)論:(1)___________________;
(2)____________________;
(3)_____________________;
(4)選擇結(jié)論____________,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校興趣小組想測量一座大樓AB的高度.如圖,大樓前有一段斜坡BC,已知BC的長為12米,它的坡度i=1: .在離C點(diǎn)40米的D處,用測角儀測得大樓頂端A的仰角為37°,測角儀DE的高為1.5米,求大樓AB的高度約為多少米?(結(jié)果精確到0.1米)
(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75, ≈1.73.)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB和直線BC相交于點(diǎn)B,連接AC,點(diǎn)D. E. H分別在AB、AC、BC上,連接DE、DH,F是DH上一點(diǎn),已知∠1+∠3=180°,
(1)求證:∠CEF=∠EAD;
(2)若DH平分∠BDE,∠2=α,求∠3的度數(shù).(用α表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4cm,AD=12cm,點(diǎn)P在AD邊上以每秒1cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動,點(diǎn)Q在BC邊上,以每秒4cm的速度從點(diǎn)C出發(fā),在CB間往返運(yùn)動,兩個點(diǎn)同時出發(fā),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時停止(同時點(diǎn)Q也停止),在這段時間內(nèi),線段PQ有(。┐纹叫杏AB?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知ABCD.
(1)作圖,作∠A的平分線AE交CD于點(diǎn)E(用尺規(guī)作圖法,保留作圖痕跡,不要求寫作法);
(2)在(1)的條件下,判斷△AED的形狀并說明理由.
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